Метод конечных объёмов

Метод конечных объёмов (в русскоязычной литературе метод контрольных объёмов) — численный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных.

ОписаниеПравить

НеформальноеПравить

Выбирается некоторая замкнутая область течения жидкости или газа, для которой производится поиск полей макроскопических величин (например, скорости, давления), описывающих состояние среды во времени и удовлетворяющих определённым законам, сформулированным математически. Наиболее используемыми являются законы сохранения в Эйлеровых переменных.

Для любой величины $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ , в каждой точке $O(x,y,z,t)$$O(x,y,z,t)$  пространства, окруженной некоторым замкнутым конечным объёмом, в момент времени $t$$t$  существует следующая зависимость: общее количество величины $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  в объёме может изменяться за счет следующих факторов:

• транспорт количества этой величины через поверхность, ограничивающую контрольный объём — поток;
• генерация (уничтожение) некоторого количества величины $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  внутри контрольного объёма — источники (стоки).

Другими словами, при формулировке МКО используется физическая интерпретация исследуемой величины. Например, при решении задач переноса тепла используется закон сохранения тепла в каждом контрольном объёме.

МатематическоеПравить

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathbf{U}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(D_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=S_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {U} \varphi )-\nabla \cdot (D_{\varphi }\nabla \varphi )+\varphi =S_{\varphi }$ ,

где:

• $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$  — скорость изменения некоторой физической величины $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ ,
• $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — реактивное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ ,
• $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathbf{U}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$\nabla \cdot (\mathbf {U} \varphi )$  — конвективное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ ,
• $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(D_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$\nabla \cdot (D_{\varphi }\nabla \varphi )$  — диффузное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ ,
• $S_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$S_{\varphi }$  — источниковое слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ .

ПрименениеПравить

Этот метод применяется, в частности, при моделировании задач гидрогазодинамики в свободном пакете OpenFOAM, а также коммерческих кодах, таких как: ANSYS, Comsol (англ.), FlowVision.

МодификацииПравить

• Метод Годунова

ЛитератураПравить

• Е.М. Смирнов, Д.К. Зайцев МЕТОД КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ, Научно технические ведомости СПбГПУ, 2’ 2004
• Патанкар С. В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах = Computation of conduction and Duct Flow Heat Transfer: Пер. с англ. — М.: Издательство МЭИ, 2003. — 312 с.

См. такжеПравить

• Механика сплошных сред
• Метод объёма жидкости