Матрица Супника

Ма́трица Су́пника или масси́в Су́пника – названная в честь Фреда Супника из городского колледжа Нью-Йорка, который ввел это понятие в 1957 – это массив Монжа который также является симметричной матрицей.

Математическое определениеПравить

Матрица Супника – это квадратный массив Монжа, симметричный вокруг главной диагонали.

Матрица вида n × n является матрицей Супника, если для всех i, j, k, l таких что

$1\leq i<k\leq n$  and $1\leq j<l\leq n$ 

затем

$a_{ij}+a_{kl}\le <!--\; \le \; -->a_{il}+a_{kj}$$a_{ij}+a_{kl}\leq a_{il}+a_{kj}\,$ 

а также

$a_{ij}=a_{ji}.$$a_{ij}=a_{ji}.\,$ 

Логически эквивалентное определение дают Рудольф и Вёджингер, которые в 1995 году доказали, что

Матрица – это матрица Супника, если она может быть записана как сумма матрицы сумм S и неотрицательной линейной комбинации блочных матриц LL-UR.

Матрица сумм определяется в терминах последовательности n вещественных чисел { α_i }:

$S=[s_{ij}]=[{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_j];$$S=[s_{ij}]=[\alpha _{i}+\alpha _{j}];\,$ 

а блочная матрица LL-UR состоит из двух симметрично расположенных прямоугольнков в нижнем левом и верхнем правом углах, для которых a _ij = 1, при этом все остальные элементы матрицы равны нулю.

СвойстваПравить

Сложение двух матриц Супника дает новую матрицу Супника (Дейнеко и Вёджингер, 2006).

Умножение матрицы Супника на неотрицательное вещественное число дает новую матрицу Супника (Дейнеко и Вёджингер, 2006).

Если матрицу расстояний в задаче коммивояжёра можно записать как матрицу Супника, то этот конкретный случай задачи допускает простое решение (даже если задача, как правило, NP-трудная).

СсылкиПравить

• Supnick, Fred. Extreme Hamiltonian Lines (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 1957. — July (vol. 66, no. 1). — P. 179—201. — JSTOR 1970124.
• Woeginger, Gerhard J.  (англ.) (рус.. Computational Problems without Computation (неопр.) // Nieuwarchief. — 2003. — June (т. 5, № 4). — С. 140—147. Архивировано 4 сентября 2004 года.
• Deineko, Vladimir G.; Woeginger, Gerhard J.  (англ.) (рус.. Some problems around travelling salesmen, dart boards, and euro-coins (англ.) // Theoretical Computer Science  (англ.) (рус. : journal. — European Association for Theoretical Computer Science, 2006. — October (vol. 90). — P. 43—52. — ISSN 0252-9742.