Матрица расстояний

Матрица расстояний — это квадратная матрица типа «объект-объект» (порядка n), содержащая в качестве элементов расстояния между объектами в метрическом пространстве.

СвойстваПравить

Свойства матрицы являются отражением свойств самих расстояний:

1. симметричность относительно диагонали, то есть $d_{ij}=d_{ji}$$d_{ij} = d_{ji}$ ;
2. отражение свойства тождественности расстояния $d_{ij}=0\iff <!--\; \iff \; -->i=j$$d_{ij}=0 \Leftrightarrow i = j$  в матрице расстояний проявляется в наличии 0 по диагонали матрицы, так как расстояние объекта с самим собой очевидно равно 0, а также в наличии нулевых значений для абсолютно сходных объектов;
3. значения расстояний в матрице всегда неотрицательны $d_{ij}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$d_{ij}\geqslant 0$ 
4. неравенство треугольника принимает форму $d_{ij}+d_{jk}⩾<!--\; ⩾\; -->d_{ik}$$d_{ij}+d_{jk}\geqslant d_{ik}$  для всех $i$$i$ , $j$$j$  и $k$$k$ .

В общем виде матрица выглядит так:

$\begin{bmatrix} 0 & \cdots & d_{1j} & \cdots & d_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ d_{i1} & \cdots & d_{ij} & \cdots & d_{in} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ d_{n1} & \cdots & d_{nj} & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix}$ 

В широком смысле расстояния являются отражением такого понятия как различие, что двойственно понятию сходства, а элементы матрицы различия (в общем виде — матрицы дивергенций) двойственны элементам матрицы сходства (в общем виде — матрицы конвергенций). Связь между мерой сходства и мерой различия можно записать как $F=1-<!--\; -\; -->K$$F = 1 - K$ , где F — мера различия; K — мера сходства. Следовательно, все свойства мер сходства можно экстраполировать на соответствующие им меры различия с помощью простого преобразования и наоборот.
Визуально отношения между объектами можно представить с помощью графовых алгоритмов кластеризации. Можно сказать, что расстояния используются намного чаще, чем меры сходства: их чаще реализуют в статистических программах (Statistica, SPSS и др.) в модуле кластерного анализа.

РасстоянияПравить

Известно, что существует обобщённая мера расстояний, предложенная Германом Минковским:

$d_{ij}={\left[\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left|x_{ik}-<!--\; -\; -->x_{jk}\right|}^p\right]}^{\frac{1}{p}}.$$d_{ij}=\left[\sum _{k=1}^{n}\left|x_{ik}-x_{jk}\right|^{p}\right]^{\frac {1}{p}}.$ 

В вышеуказанное семейство расстояний входит:

• при p = 1 — «манхэттенское расстояние» («расстояние городских кварталов», англ. city-block), или «$l$$l$ -норма». Обобщённая мера Хэмминга в теоретико-множественной записи (после нормировки) может быть представлена как $d_{ij}=n(A)+n(B)-<!--\; -\; -->2n(A\cap <!--\; \cap \; -->B)$$d_{ij} = n(A) + n(B) - 2n(A \cap B)$  и являться двойственной мере абсолютного сходства.
• при p = 2 — расстояние Евклида. Часто используется и квадрат этого расстояния.
• при p → ∞ — sup-метрика, или метрика «доминирования». Также известна как расстояние Чебышёва.

Существуют используемые расстояния и вне данного семейства. Наиболее известным является расстояние Махаланобиса.

Также интересно в качестве удачной иллюстрации связи мер сходства и различия расстояние Юрцева, двойственное мере сходства Браун-Бланке:

$F_{\text{Yu}}=1-<!--\; -\; -->K_{\text{B-B}}=1-<!--\; -\; -->\frac{n(A\cap <!--\; \cap \; -->B)}{max(n(A),n(B))}=\frac{n(A)+n(B)-<!--\; -\; -->2n(A\cap <!--\; \cap \; -->B)+|n(A)-<!--\; -\; -->n(B)|}{n(A)+n(B)+|n(A)-<!--\; -\; -->n(B)|}.$$F_{\text{Yu}}=1-K_{\text{B-B}}=1-{\frac {n(A\cap B)}{\max {\big (}n(A),n(B){\big )}}}={\frac {n(A)+n(B)-2n(A\cap B)+|n(A)-n(B)|}{n(A)+n(B)+|n(A)-n(B)|}}.$ 

ПримерПравить

На плоскости расположено шесть различных точек (см. изображение). В качестве метрики выбрано расстояние Евклида в пикселях.

 

Точки на плоскости

Соответствующая матрица расстояний будет равна

	a	b	c	d	e	f
a	0	184	222	177	216	231
b	184	0	45	123	128	200
c	222	45	0	129	121	203
d	177	123	129	0	46	83
e	216	128	121	46	0	83
f	231	200	203	83	83	0

Полученную матрицу можно изобразить в виде тепловой карты. Здесь более тёмный цвет соответствует меньшему расстоянию между точками.

 

Матрица расстояний в виде тепловой карты