Матрицант

Матрица́нт — фундаментальная матрица $X(t)$$X(t)$ решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

$x^{\prime }(t)=A(t)x(t),x(t)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n,A(t)$$x'(t)=A(t)x(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad A(t)$ — однопараметрическое семейство матриц.

нормированная в точке $t_0$$t_0$. (Также матрицантом иногда называют матрицу Коши системы дифференциальных уравнений.)

Матрицант является единственным непрерывным решением матричной задачи Коши

$X^{\prime }=A(t)X$$X'=A(t)X$, $X(t_0)=I$$X(t_{0})=I$ ($I$$I$ — единичная матрица)

если матричная функция $A(t)$$A(t)$ локально суммируема на некотором интервале.

Любое решение $x(t)$$x(t)$ системы записывается в виде $x(t)=X(t)x(t_0)$$x(t)=X(t)x(t_{0})$.

Представление в виде рядаПравить

Для матрицанта справедливо разложение в ряд

$X(t)=I+{\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^{t}A(t_1)d{t}_1+{\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^{t}A(t_1){\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^{t_1}A(t_2)d{t}_{2}d{t}_1+\dots <!--\; \dots \; -->=$$X(t)=I+\int _{t_{0}}^{t}A(t_{1})dt_{1}+\int _{t_{0}}^{t}A(t_{1})\int _{t_{0}}^{t_{1}}A(t_{2})dt_{2}dt_{1}+\ldots =$ 

$=I+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\;\int \limits _{t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}<t}\prod \limits _{k=1}^{n}A(t_{k})\prod \limits _{k=1}^{n}dt_{k}$ 

Представление в виде экспонентыПравить

Если матрица $A(t)$$A(t)$  удовлетворяет условию Лаппо-Данилевского:

$[{\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^{t}A(s)ds,A(t)]=0,$$[\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds,A(t)]=0,$ 

где $[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->]$$[\cdot ,\cdot ]$  — коммутатор, то матрицант примет вид:

$X(t)=e^{{\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^{t}A(s)ds}$$X(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds}$ 

В общем случае решение может быть записано через T-экспоненту:

$X(t)=\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left({\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^{t}A(s)ds\right)$$X(t)=\mathrm {Texp} \left(\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds\right)$ 

Определитель матрицантаПравить

Определитель матрицанта является определителем Вронского фундаментальной нормированной системы решений соответствующего дифференциального уравнения. Для него справедлива формула Лиувилля-Остроградского

$W_n(t)=detX(t)=e^{{\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^t\mathrm{t}\mathrm{r}A(s)ds}$$W_{n}(t)=\det X(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}\mathop {\rm {tr}} \;A(s)ds}$ 

Тогда с учётом $x(t)=X(t)x(t_0)$$x(t)=X(t)x(t_{0})$  формула Лиувилля-Остроградского для определителя Вронского произвольной системы решений примет вид:

$W(t)=W(t_0)e^{{\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^t\mathrm{t}\mathrm{r}A(s)ds}.$$W(t)=W(t_{0})e^{\int _{t_{0}}^{t}\mathop {\rm {tr}} \;A(s)ds}.$ 

ЛитератураПравить

Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.

А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X.