Формула Лиувилля — Остроградского

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

$y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-<!--\; -\; -->1)}+P_2(x)y^{(n-<!--\; -\; -->2)}+...+P_n(x)y=0,$$y^{{(n)}}+P_{1}(x)y^{{(n-1)}}+P_{2}(x)y^{{(n-2)}}+...+P_{n}(x)y=0,$

тогда $W(x)=W(x_0)e^{-<!--\; -\; -->\underset{x_0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}{P}_1(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->})d\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}=C{e}^{-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->P_1(x)dx},$$W(x)=W(x_{0})e^{-\int \limits _{x_{0}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }=Ce^{-\int P_{1}(x)dx},$ где $W(x)$$W(x)$ — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

$y^{\prime }(x)=A(x)y(x),$$y'(x)=A(x)y(x),$ где $A(x)$$A(x)$ — непрерывная квадратная матрица порядка $n$$n$, справедлива формула Лиувилля-Остроградского

$W(x)=W(x_0)e^{\underset{x_0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{t}\mathrm{r}<!--\; \; -->A(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->})d\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}},$$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\mathop {\rm {tr}} A(\zeta )d\zeta },$ где $\mathrm{t}\mathrm{r}<!--\; \; -->A(x)$${\mathop {{\rm {tr}}}}A(x)$ — след матрицы $A(x)$$A(x)$

Правило дифференцирования определителя размерности 2Править

Производная определителя $\Delta =\Delta (x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)\\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)\end{vmatrix}}=a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}}$  по переменной х имеет вид ${\frac {d\Delta }{dx}}=(a_{{11}}a_{{22}}-a_{{12}}a_{{21}})'=a_{{11}}'a_{{22}}+a_{{11}}a_{{22}}'-a_{{12}}'a_{{21}}-a_{{12}}a_{{21}}'={\begin{vmatrix}a_{{11}}'&a_{{12}}'\\a_{{21}}&a_{{22}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}\\a_{{21}}'&a_{{22}}'\end{vmatrix}}$ 

Правило дифференцирования определителя размерности $n$$n$Править

Пусть $\Delta =\Delta (x)=\det \left({\begin{matrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x)\\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\dots &a_{{nn}}(x)\\\end{matrix}}\right)$ 

Тогда для производной ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{\prime }(x)$$\Delta '(x)$  верно

$\Delta '(x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}'(x)&a_{{12}}'(x)&\dots &a_{{1n}}'(x)\\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\dots &a_{{nn}}(x)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x)\\a_{{21}}'(x)&a_{{22}}'(x)&\dots &a_{{2n}}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\dots &a_{{nn}}(x)\\\end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x)\\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}'(x)&a_{{n2}}'(x)&\dots &a_{{nn}}'(x)\\\end{vmatrix}}$ 

(в $i$$i$ -м слагаемом продифференцирована $i$$i$ -я строка)

Доказательство

Воспользуемся формулой полного разложения определителя

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(x)=\underset{i_1,i_2,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n}{\sum <!--\; \sum \; -->}(-<!--\; -\; -->1{)}^{P(i_1,i_2,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n)}{a}_{1i_1}(x)a_{2i_2}(x)\cdots <!--\; \cdots \; -->a_{n{i}_n}(x)$$\Delta (x)=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)$ 

Сумма взята по всевозможным перестановкам чисел $1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$1,2,\dots ,n$ , $P(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$P(\cdot )$  — четность перестановки.

Дифференцируя это выражение по $x$$x$ , получим

${\begin{aligned}[l]\Delta '(x)&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}{\frac {d\left(a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)\right)}{dx}}=\\&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}\left(a_{{1i_{1}}}'(x)a_{{2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\dots +a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\right)=\\&=\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}'(x)a_{{2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}'(x)\cdots a_{{ni_{n}}}(x)+\\&+\dots +\\&+\sum _{{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}}(-1)^{{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}}a_{{1i_{1}}}(x)a_{{2i_{2}}}(x)\cdots a_{{ni_{n}}}'(x)\end{aligned}}$ 

В каждой сумме продифференцированы элементы $i$$i$ -й строки и только они. Заменив суммы определителями, получим

$\Delta '(x)={\begin{vmatrix}a_{{11}}'(x)&a_{{12}}'(x)&\dots &a_{{1n}}'(x)\\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\dots &a_{{nn}}(x)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x)\\a_{{21}}'(x)&a_{{22}}'(x)&\dots &a_{{2n}}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}(x)&a_{{n2}}(x)&\dots &a_{{nn}}(x)\\\end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}a_{{11}}(x)&a_{{12}}(x)&\dots &a_{{1n}}(x)\\a_{{21}}(x)&a_{{22}}(x)&\dots &a_{{2n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}'(x)&a_{{n2}}'(x)&\dots &a_{{nn}}'(x)\\\end{vmatrix}}$ 

Доказательство для уравнения второго порядкаПравить

Пусть в уравнении $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$  функции $p(x),q(x)$$p(x),q(x)$  непрерывны на $[a;b]$$[a;b]$ , а

$y_1=y_1(x),y_2=y_2(x)$$y_{1}=y_{1}(x),y_{2}=y_{2}(x)$  — решения данного уравнения.

Продифференцировав определитель Вронского, получим

${\frac {dW}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{1}}'&y_{{2}}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}'&y_{{2}}'\\y_{{1}}'&y_{{2}}'\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\y_{{1}}''&y_{{2}}''\end{vmatrix}}$ 

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

$y_1^{″}=-<!--\; -\; -->p{y}_1^{\prime }-<!--\; -\; -->q{y}_1$$y_{1}''=-py_{1}'-qy_{1}$ 

$y_2^{″}=-<!--\; -\; -->p{y}_2^{\prime }-<!--\; -\; -->q{y}_2$$y_{2}''=-py_{2}'-qy_{2}$ 

во второе слагаемое, получим

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'-qy_{1}&-py_{2}'-qy_{2}\end{vmatrix}}$ 

Прибавив первую строку, домноженную на q, ко второй, получим

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{{1}}&y_{{2}}\\-py_{1}'&-py_{2}'\end{vmatrix}}=-pW$ 

решения линейно независимы, поэтому

$W\ne <!--\; \ne \; -->0\to <!--\; \to \; -->\frac{dW}{W}=-<!--\; -\; -->pdx$$W\neq 0\to {\frac {dW}{W}}=-pdx$  — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получим

$\ln <!--\; \; -->|W|=-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->p(x)dx+\ln <!--\; \; -->|C|\to <!--\; \to \; -->\ln <!--\; \; -->\left|\frac{W}{C}\right|=-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->p(x)dx\to <!--\; \to \; -->W=C{e}^{-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->p(x)dx}$$\ln |W|=-\int p(x)dx+\ln |C|\to \ln \left|{\frac {W}{C}}\right|=-\int p(x)dx\to W=Ce^{-\int p(x)dx}$ 

Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравненийПравить

Пусть вектор-функции ${\mathbf{y}}_1(x),{\mathbf{y}}_2(x),\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{y}}_n(x)$${{\mathbf y}}_{1}(x),{{\mathbf y}}_{2}(x),\dots ,{{\mathbf y}}_{n}(x)$  — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  следующим образом

$\Phi (x)=\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}(x)&{\mathbf {y} }_{2}(x)&\dots &{\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrix}}\right\|$ 

Тогда $W(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->det\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)$$W(x)\equiv \det \Phi (x)$ . Воспользуемся тем, что $y_i(x)$$y_{i}(x)$  — решения системы ОДУ, то есть ${\mathbf{y}}_i^{\prime }(x)=A(x){\mathbf{y}}_i(x)$${{\mathbf y}}_{i}'(x)=A(x){{\mathbf y}}_{i}(x)$ .

В матричном виде последнее представимо в виде $\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}'(x)&{\mathbf {y} }_{2}'(x)&\dots &{\mathbf {y} }_{n}'(x)\end{matrix}}\right\|=\left\|{\begin{matrix}A(x){\mathbf {y} }_{1}(x)&A(x){\mathbf {y} }_{2}(x)&\dots &A(x){\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrix}}\right\|=A(x)\Phi (x)$ 

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{\prime }(x)=A(x)\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)$$\Phi '(x)=A(x)\Phi (x)$ 

Пусть ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(x)$$\varphi _{i}(x)$  — $i$$i$ -я строка матрицы $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)$$\Phi (x)$ . Тогда

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i^{\prime }(x)=\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}(x){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_j(x)$$\varphi _{i}'(x)=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)$ 

Последнее означает, что производная от $i$$i$ -й строки матрицы $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)$$\Phi (x)$  есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из $i$$i$ -й строки матрицы $A(x)$$A(x)$ . Рассмотрим определитель матрицы $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x)$$\Phi (x)$ , в которой $i$$i$ -я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из $i$$i$ -й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

$\left|\begin{array}{c}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1(x)\\ {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2(x)\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i^{\prime }(x)\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1(x)\\ {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2(x)\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ \underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}(x){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_j(x)\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1(x)\\ {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2(x)\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ \underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}(x){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_j(x)-<!--\; -\; -->\underset{j\ne <!--\; \ne \; -->i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{ij}(x){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_j(x)\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1(x)\\ {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2(x)\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ a_{ii}(x){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i(x)\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)\end{array}\right|=a_{ii}(x)W(x)$$\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\varphi _{i}'(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)-\sum _{{j\neq i}}a_{{ij}}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\a_{{ii}}(x)\varphi _{i}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=a_{{ii}}(x)W(x)$ 

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

$W^{\prime }(x)=a_{11}(x)W(x)+a_{22}(x)W(x)+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_{nn}(x)W(x)=\mathrm{tr}<!--\; \; -->A(x)W(x)$$W'(x)=a_{11}(x)W(x)+a_{22}(x)W(x)+\dots +a_{nn}(x)W(x)=\operatorname {tr} A(x)W(x)$ 

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

$W(x)=W(x_0)e^{\underset{x_0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{tr}<!--\; \; -->A(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->})d\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}$$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\operatorname {tr} A(\zeta )d\zeta }$ 

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядкаПравить

Линейное дифференциальное уравнение $n$$n$ -го порядка

$y^{(n)}(x)+P_1(x)y^{(n-<!--\; -\; -->1)}(x)+\cdots <!--\; \cdots \; -->+P_{n-<!--\; -\; -->1}(x)y^{\prime }(x)+P_n(x)y(x)=0$$y^{(n)}(x)+P_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +P_{n-1}(x)y'(x)+P_{n}(x)y(x)=0$ 

эквивалентно следующей системе

${\begin{aligned}y_{{n-1}}'(x)&=-P_{1}(x)y_{{n-1}}(x)-\dots -P_{{n-1}}(x)y_{1}(x)-P_{n}(x)y_{0}(x)\\y_{{n-2}}'(x)&=y_{{n-1}}\\\vdots \\y_{{1}}'(x)&=y_{{2}}\\y_{{0}}'(x)&=y_{{1}}\\\end{aligned}}$ 

с матрицей $A(x)$$A(x)$  следующего вида

$A(x)=\left({\begin{matrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\0&0&\ddots &\ddots &0\\0&0&\dots &0&1\\-P_{n}(x)&-P_{{n-1}}(x)&\dots &-P_{2}(x)&-P_{1}(x)\\\end{matrix}}\right)$ 

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы $A(x)$$A(x)$  равен $-<!--\; -\; -->P_1(x)$$-P_{1}(x)$ . Подстановкой в формулу для системы получаем

$W(x)=W(x_0)e^{-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{x_0}^x{P}_1(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->})d\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}$$W(x)=W(x_{0})e^{{-\int _{{x_{0}}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }}$ 

Применение формулы Лиувилля-ОстроградскогоПравить

Пусть известно решение $y_1(x)$$y_{1}(x)$  линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, т. е. $n=2$$n=2$ . Используя формулу Лиувилля-Остроградского, возможно найти линейно независимое от него решение $y_2(x)$$y_{2}(x)$  той же системы.

Распишем вронскиан:

$C{e}^{-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->P_1(x)dx}=y_1{y}_2^{\prime }-<!--\; -\; -->y_1^{\prime }{y}_2=W.$$Ce^{-\int P_{1}(x)dx}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=W.$ 

$\frac{W}{y_1^2}=\frac{y_1{y}_2^{\prime }-<!--\; -\; -->y_1^{\prime }{y}_2}{y_1^2}={\left(\frac{y_2}{y_1}\right)}^{\prime },$${\frac {W}{y_{1}^{2}}}={\frac {y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}}{y_{1}^{2}}}=\left({\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right)',$  поэтому

$\frac{y_2}{y_1}=\int <!--\; \int \; -->\frac{W}{y_1^2}dx+B$${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B$ $⟶<!--\; ⟶\; -->y_2=y_1\left(\int <!--\; \int \; -->\frac{W}{y_1^2}dx+B\right)=y_1\int <!--\; \int \; -->\frac{C{e}^{-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->P_1(x)dx}}{y_1^2}dx+B{y}_1$$\longrightarrow y_{2}=y_{1}\left(\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B\right)=y_{1}\int {\frac {Ce^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx+By_{1}$ 

Так как для линейной независимости $y_1(x)$$y_{1}(x)$  и $y_2(x)$$y_{2}(x)$  достаточно $W\ne <!--\; \ne \; -->0$$W\neq 0$ , приняв $C=1,B=0$$C=1,\,B=0$ , получим $y_2=y_1\int <!--\; \int \; -->\frac{e^{-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->P_1(x)dx}}{y_1^2}dx.$$y_{2}=y_{1}\int {\frac {e^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx.$ 

ПримерПравить

Пусть в уравнении $y^{″}-<!--\; -\; -->\mathrm{t}\mathrm{g}<!--\; \; -->x{y}^{\prime }+2y=0$$y''-{\mathop {{\rm {{tg}}}}}x\,y'+2y=0$  известно частное решение $y_1=\sin <!--\; \; -->x$$y_{1}=\sin x$ . Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим

$y_2=\sin <!--\; \; -->x\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{{\sin }^2<!--\; \; -->x{e}^{-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->\tan <!--\; \; -->xdx}}=\sin <!--\; \; -->x\ln <!--\; \; -->\left|\tan <!--\; \; -->x+\frac{1}{\cos <!--\; \; -->x}\right|-<!--\; -\; -->1.$$y_{2}=\sin x\int {\frac {dx}{\sin ^{2}xe^{{-\int \tan xdx}}}}=\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1.$ 

Тогда общее решение однородного уравнения $y=C_1\left(\sin <!--\; \; -->x\ln <!--\; \; -->\left|\tan <!--\; \; -->x+\frac{1}{\cos <!--\; \; -->x}\right|-<!--\; -\; -->1\right)+C_2\sin <!--\; \; -->x$$y=C_{1}\left(\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1\right)+C_{2}\sin x$ 

Используемая литератураПравить

• Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. Учебник для вузов. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999. — 366 с. — (Математика в техническом университете; Вып. VIII).
• Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 344 с.