Матрица Коши (дифференциальные уравнения)

В математике матрицей Коши (также импульсная функция, матрицант) системы дифференциальных уравнений

$x^{\prime }(t)=A(t)x(t)$$x'(t)=A(t)x(t)$, $x(t)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $t\in <!--\; \in \; -->(t_1,t_2)$$t\in (t_{1},t_{2})$,

называется матрица

$C(t,s)=X(t)X(s{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$C(t,s)=X(t)X(s)^{-1}$, $(t;s)\in <!--\; \in \; -->(t_1,t_2)\times <!--\; \times \; -->(t_1,t_2)$$(t;s)\in (t_{1},t_{2})\times (t_{1},t_{2})$

где $X(t)$$X(t)$ — матрицант данной системы (нормировка: $X(t_0)=I$$X(t_{0})=I$, $t_0\in <!--\; \in \; -->(t_1,t_2)$$t_{0}\in (t_{1},t_{2})$).

(Иногда не $X(t)$$X(t)$, а саму матрицу Коши называют матрицантом.)

Решение систем неоднородных дифференциальных линейных уравненийПравить

Матрица Коши используется для представления с её помощью решений систем неоднородных дифференциальных линейных уравнений. Любое решение неоднородной системы:

$x^{\prime }(t)=A(t)x(t)+B(t),x(t)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n,t\in <!--\; \in \; -->(t_1,t_2),$$x'(t)=A(t)x(t)+B(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (t_{1},t_{2}),$ 

где $B(t)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$B(t)\in \mathbb {R} ^{n}$  — локально суммируемая функция на $(t_1,t_2),$$(t_{1},t_{2}),$  может быть представлено через матрицу Коши однородной системы:

$x^{\prime }(t)=A(t)x(t),x(t)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n,t\in <!--\; \in \; -->(t_1,t_2),$$x'(t)=A(t)x(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (t_{1},t_{2}),$ 

в виде:

$x(t)=X(t)x(t_0)+{\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^{t}C(t,s)B(s)ds,t\in <!--\; \in \; -->(t_1,t_2).$$x(t)=X(t)x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}C(t,s)B(s)ds,\quad t\in (t_{1},t_{2}).$ 

СвойстваПравить

• $C(t,s)$$C(t,s)$  непрерывна в $(t_1,t_2)\times <!--\; \times \; -->(t_1,t_2)$$(t_{1},t_{2})\times (t_{1},t_{2})$ 
• Для любых t, s и r принадлежащих интервалу $(t_1,t_2)$$(t_{1},t_{2})$  верны следующие утверждения:
  1. $C(t,s)=C(t,t_0)C(s,t_0{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$C(t,s)=C(t,t_{0})C(s,t_{0})^{-1}$ 
  2. $C(t,s)=C(t,r)C(r,s)$$C(t,s)=C(t,r)C(r,s)$ 
  3. $C(s,t)=C(t,s{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$C(s,t)=C(t,s)^{-1}$ 
  4. $C(t,t)=I$$C(t,t)=I$ 
  5. Если $C_{\ast <!--\; \ast \; -->}(t,s)$$C_{*}(t,s)$  — матрица сопряжённой системы

     $x^{\prime }(t)=-<!--\; -\; -->A^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t)x(t)$$x'(t)=-A^{*}(t)x(t)$ , $x(t)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

     то

     $C_{\ast <!--\; \ast \; -->}(t,s)=(C(t,s{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$C_{*}(t,s)=(C(t,s)^{*})^{-1}$ 

  6. $|C(t,s)|⩽<!--\; ⩽\; -->e^{{\int <!--\; \int \; -->}_s^t|A(r)|dr},s⩽<!--\; ⩽\; -->t,$$|C(t,s)|\leqslant e^{\int _{s}^{t}|A(r)|dr},\quad s\leqslant t,$ 

     где $|\cdot <!--\; \cdot \; -->|$$|\cdot |$  — норма матрицы.

Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамиПравить

В случае $A(t)=A=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$A(t)=A=\mathrm {const}$  матрицант равен

$X(t)=e^{A(t-<!--\; -\; -->t_0)}$$X(t)=e^{A(t-t_{0})}$ ,

где $e^{As}$$e^{As}$  — матричная экспонента, следовательно, матрица Коши:

$C(t,s)=e^{A(t-<!--\; -\; -->s)}$$C(t,s)=e^{A(t-s)}$ ,

$C(t,s)=X(t-<!--\; -\; -->s)$$C(t,s)=X(t-s)$ ,

таким образом, в этом случае для получения матрицы Коши достаточно подставить (t - s) в качестве аргумента матрицанта.

Общее решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

$x(t)=e^{A(t-<!--\; -\; -->t_0)}x(t_0)+{\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^t{e}^{A(t-<!--\; -\; -->s)}B(s)ds,t\in <!--\; \in \; -->(t_1,t_2).$$x(t)=e^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-s)}B(s)ds,\quad t\in (t_{1},t_{2}).$ 

ЛитератураПравить

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X.