Линейно-квадратичное гауссовское управление

Линейно-квадратичное гауссовское управление (англ. Linear quadratic Gaussian control, LQG control) — набор методов и математического аппарата теории управления для синтеза систем управления с отрицательной обратной связью для линейных систем с аддитивным гауссовским шумом. Синтез проводится путём минимизации заданного квадратичного функционала.

ОбзорПравить

Линейно-квадратичное гауссовское (ЛКГ) управление относится к современным методам управления. Методология синтеза контроллера позволяет отнести системы управления, построенные на таком принципе, к оптимальным системам, в которых оптимизация проводится по некоторому заданному квадратичному критерию качества. Также эта теория принимает в расчёт присутствие возмущений в виде гауссова белого шума. Однако несмотря на то, что синтез ЛКГ-контроллеров предусматривает систематическую процедуру расчёта для оптимизации качества системы, главным его недостатком является то, что в рассмотрение не принимается робастность системы. Поэтому ЛКГ-синтез проводится только для систем, имеющих надёжную и точную линейную динамическую модель. Для повышения робастности системы управления применяют более сложные алгоритмы, такие как минимаксный ЛКГ синтез, или комбинированный ЛКГ/H∞ синтез. ЛКГ контроллеры могут использоваться как для дискретных, так и для непрерывных систем.

ЛКГ-синтезПравить

В процессе ЛКГ-синтеза получается оптимальный регулятор $F(s)$$F(s)$  для некоторого объекта управления $G(s)$$G(s)$ .

Представим модель системы в пространстве состояний:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t)+\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(t)$${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)+\mathbf {\xi } (t)$ 

$\mathbf{y}(t)=C\mathbf{x}(t)+D\mathbf{u}(t)+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(t)$$\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)+\mathbf {\theta } (t)$ ,

где

$x(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$x(\cdot)$  — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы,

$y(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$y(\cdot)$  — вектор выхода,

$u(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$u(\cdot)$  — вектор управления,

$\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$\xi (\cdot )$  — возмущения, действующие на объект управления,

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$\theta (\cdot )$  — шум измерения (датчики, АЦП и т. п.),

$A$$A$  — матрица системы,

$B$$B$  — матрица управления,

$C$$C$  — матрица выхода,

$D$$D$  — матрица прямой связи.

Шум объекта управления и шум измерения считаются белыми с гауссовым распределением.

Тогда задача синтеза ЛКГ-регулятора будет заключаться в минимизации некоторого функционала качества, который задаётся в виде:

$\mathcal{J}=\underset{t\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}E\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}\left[x^T(t)Rx(t)+u^T(t)Qu(t)\right]dt$${\mathcal {J}}=\lim _{t\to \infty }E\int \limits _{0}^{t}\left[x^{T}(t)Rx(t)+u^{T}(t)Qu(t)\right]\,dt$ 

Матрицы $R$$R$  и $Q$$Q$  представляют собой параметры функционала качества и являются положительно-определёнными матрицами.

Описанная выше методология подходит также для синтеза ЛКГ-оптимальных регуляторов и для дискретных систем. Функционал качества в этом случае задаётся соотношением:

$\mathcal{J}=E\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[x^T(k)Rx(k)+u^T(k)Qu(k)\right]$${\mathcal {J}}=E\sum _{k=0}^{\infty }\left[x^{T}(k)Rx(k)+u^{T}(k)Qu(k)\right]$ 

Функционал качества минимизируется стандартными методами теории оптимального управления. Получившийся в результате регулятор будет ЛКГ-оптимальным регулятором.

См. такжеПравить

• Линейно-квадратичный регулятор

ЛитератураПравить

• Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов//Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 7. — С.96-106.
• Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х томах. Т.3: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. — 748с.
• M. Athans. «The Role and Use of the Stochastic Linear-Quadratic-Gaussian Problem in Control System Design», IEEE Trans. Automat. Contr., AC-16, pp. 529—552, Dec. 1971.