H∞-управление

H на бесконечности или ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$ — метод теории управления для синтеза оптимальных регуляторов. Метод является оптимизационным, имеющим дело со строгим математическим описанием предполагаемого поведения замкнутой системы и её устойчивости. Метод примечателен своей строгой математической базой, оптимизационным характером и применимостью как к классическому, так и робастному управлению.

$\mathcal{H}$${\mathcal {H}}$ является нормой в пространстве Харди. «Бесконечность» говорит о выполнении минимаксных условий в частотной области. ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$-норма динамической системы, имеющая смысл максимального усиления системы по энергии. В случае MIMO-систем она равна максимальному сингулярному числу передаточной функции системы, в случае SISO-систем она равна максимальному значению амплитуды её частотной характеристики.

Постановка задачиПравить

Сначала система должна быть приведена к стандартному виду:

 

Объект управления $P$$\ P$  имеет два входа, два внешних воздействия $w$$\ w$ , которые включают задаточный сигнал и возмущения. Контролируемая переменная обозначена $u$$\ u$ . Это вектор выходных сигналов системы, состоящий из сигнала ошибки $z$$\ z$ , который надо минимизировать, и измеренная переменная $v$$\ v$ , которая используется в контуре управления. $v$$\ v$  используется в K для подсчёта переменной $u$$\ u$ .

Уравнение системы:

${\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=P(s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}$ 

$u=K(s)v$$u=K(s)\,v$ 

Таким образом возможно выразить зависимость $z$$\ z$  от $w$$\ w$ :

$z=F_l(P,K)w$$z=F_{l}(P,K)\,w$ 

И далее:

$F_l(P,K)=P_{11}+P_{12}K(I-<!--\; -\; -->P_{22}K{)}^{-<!--\; -\; -->1}{P}_{21}$$F_{l}(P,K)=P_{11}+P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}$ 

Таким образом, целью ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$ -оптимального управления является синтез такого контроллера $K$$\ K$ , $F_l(P,K)$$\ F_{l}(P,K)$ , который минимизировал бы ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$ -норму системы. То же относится и к ${\mathcal{H}}_2$${\mathcal {H}}_{2}$ -управлению. Норма на бесконечности матрицы$F_l(P,K)$$\ F_{l}(P,K)$  определяется как:

$||F_l(P,K)|{|}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=\underset{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{sup}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}(F_l(P,K)(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}))$$||F_{l}(P,K)||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{l}(P,K)(j\omega ))$ 

где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$${\bar {\sigma }}$  — максимальное сингулярное число матрицы $F_l(P,K)(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$\ F_{l}(P,K)(j\omega )$ .

Найденный таким образом контроллер является оптимальным в ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$ -смысле. Существует также ряд приложений, в которых решается так называемая «задача малого усиления (англ. small gain problem)». В рамках этой задачи необходимо найти такой контроллер, который бы обеспечивал выполнение условия

$min(||F_l(P,K)|{|}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})\le <!--\; \le \; -->1$$min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1$ .

Эта задача иногда также называется «стандартной задачей ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$ -управления».

Преимущества и недостаткиПравить

H∞-управление имеет несколько особенностей в сравнении с другими методами синтеза робастных контроллеров. К преимуществам можно отнести:

• Метод работает с устойчивостью и чувствительностью системы.
• Простой одношаговый алгоритм.
• Точное формирование выходной частотной характеристики.

К недостаткам можно отнести то, что метод требует обращать особое внимание на параметрическую робастность объекта управления.

Свойства ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$-контроллеровПравить

1. Весовая функция ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$ -оптимального контроллера представляет собой фазовый фильтр, то есть для наименьшего сингулярного числа системы $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$${\bar {\sigma \ }}$  выполняется соотношение:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}(F_l(P,K))=1$${\bar {\sigma \ }}(F_{l}(P,K))=1$  для любого $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->R$$\omega \ \in R$ 

2. ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$ -оптимальный контроллер имеет порядок максимум $n-<!--\; -\; -->1$$\ n-1$ , где $n$$\ n$  — порядок объекта управления.

Условия существования ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$-контроллеровПравить

Для того, чтобы существовал ${\mathcal{H}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$${\mathcal {H}}_{\infty }$ -контроллер в стандартной задаче:

$min(||F_l(P,K)|{|}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})\le <!--\; \le \; -->1$$min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1$ 

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Представим замкнутую систему в виде уравнений в пространстве состояний:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{x}}(t)=A(t)\mathbf{x}(t)+B(t)\mathbf{u}(t)$$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)$ 

$\mathbf{y}(t)=C(t)\mathbf{x}(t)+D(t)\mathbf{u}(t)$$\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)$ 

Должен существовать закон пропорционального управления $F(s)=K$$\ F(s)=K$  такой, чтобы наибольшее сингулярное число матрицы $D$$\ D$  замкнутой системы удовлетворяло неравенству $\sigma _{n}\ (D)<1$ 

2. Уравнение Риккати для управления

Уравнение Риккати для управления по состояниям должно иметь вещественное, положительно-определённое решение $P\ge <!--\; \ge \; -->0$$P\geq 0$ .

3. Уравнение Риккати для наблюдателя

Уравнение Риккати для наблюдателя, работающего в паре с контроллером, должно иметь вещественное, положительно-определённое решение $S\ge <!--\; \ge \; -->0$$S\geq 0$ .

4. Ограничение по собственным числам:

Наибольшее собственное число произведения двух решений (для контроллера и наблюдателя) уравнений Риккати должно быть меньше единицы: $\lambda _{max}(PS)<1$ 

См. такжеПравить

• Робастное управление

БиблиографияПравить

• Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 тт. Т. 3, Изд.2. 2004.616 с.
• R. Y. Chiang, Modern Robust Control Theory. Ph. D. Dissertation: USC,1988.