Лемниската Жероно

Лемниска́та Жероно́, или лемниската Гюйгенса — плоская кривая, удовлетворяющая уравнению $x^4=a^2(x^2-<!--\; -\; -->y^2)$$\textstyle x^{4}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Лемниската Жероно

Получила свое название в честь французского математика Камиля-Кристофа Жероно, который описал её свойства в своем учебнике по геометрии, изданном в Париже в 1854 г.

Уравнение кривой в плоских координатах: $y=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{\frac{a^2{x}^2-<!--\; -\; -->x^4}{a^2}}$$y=\pm {\sqrt {\frac {a^{2}x^{2}-x^{4}}{a^{2}}}}$.

Лемниската Жероно является уникурсальной кривой, поэтому может быть описана в параметрическом виде через рациональные функции:

$x=a\frac{t^2-<!--\; -\; -->1}{t^2+1},y=a\frac{2t(t^2-<!--\; -\; -->1)}{(t^2+1{)}^2}$$x=a{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ \ y=a{\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}$.

Также параметрический вид через тригонометрические функции:

$x=a\cos <!--\; \; -->(t),y=a\sin <!--\; \; -->(t)\cos <!--\; \; -->(t)=a\sin <!--\; \; -->(2t)/2,$$x=a\cos(t),\ \ y=a\sin(t)\cos(t)=a\sin(2t)/2,$

или

$x=a\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t),y=b\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)=b\sin <!--\; \; -->(2\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)/2$$x=a\cos(\omega t),\ \ y=b\sin(\omega t)\cos(\omega t)=b\sin(2\omega t)/2$

и является одной из фигур Лиссажу с удвоенной частотой колебаний по оси $y$$y$ относительно колебаний по оси $x$$x$ и нулевым сдвигом фаз.

См. такжеПравить

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Кривая Вивиани

СсылкиПравить

• Словарь плоских кривых (англ.).
• Lemniscate de Gerono (фр.).

ЛитератураПравить

• Артоболевский И. И. Механизмы в современной технике. — Т. 2. — Изд. 7-е. — М.: Наука, 1979.