Уникурсальная кривая

Уникурсальная кривая — кривая на плоскости, которая может быть задана параметрическим уравнением:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\left\{{\begin{matrix}~x=F(t);\\~y=G(t),\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}~x=F(t);\\~y=G(t),\end{matrix}}\right.$

где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $F(t)$ $F(t)$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $G(t)$ $G(t)$ — рациональные функции параметра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t$ $t$ .

Основные свойстваПравить

Уникурсальные кривые играют важную роль в теории интегралов алгебраических функций. Интеграл вида

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\int \limits {R(x,\;y)}\,dx,$

где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $R(x,\;y)$ есть рациональная функция двух переменных, а $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $y$ — функция от $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ , определяемая уравнением $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $P(x,\;y)=0$ , задающим уникурсальную кривую, сводится к интегралу от рациональной функции и выражается в элементарных функциях.

ПримерыПравить

В качестве примеров уникурсальных кривых можно рассматривать любые алгебраические кривые второго порядка и некоторые кривые высших порядков, например декартов лист (кривая третьего порядка).