Кривая Вивиани

Кривая Вивиани — пространственная кривая, пересечение кругового цилиндра со сферой с центром на поверхности цилиндра и радиусом, равным диаметру цилиндра.

Кривая Вивиани — пересечение сферы и цилиндра

Названа в честь Винченцо Вивиани, который дал в 1692 году детальное исследование этой кривой и впервые отметил, что ограниченные ею на полусфере две области допускают простую квадратуру: их общая площадь такова, что поверхность оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы. До Вивиани эту кривую изучали Де ла Лубер, Симон^[fr] и Жиль Роберваль (1666).

УравненияПравить

• Кривая Вивиани является линией пересечения поверхности цилиндра

  $(x-<!--\; -\; -->a{)}^2+y^2=a^2$$(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}$ 

со сферой вдвое большего радиуса, центр которой лежит на поверхности цилиндра:

$x^2+y^2+z^2=4\cdot <!--\; \cdot \; -->a^2.$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\cdot a^{2}\,.$ 

• Параметрическое уравнение:

  $\left(a\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+\cos <!--\; \; -->t),a\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->t,2\cdot <!--\; \cdot \; -->a\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\frac{t}{2}\right).$$\left(a\cdot (1+\cos t),\ a\cdot \sin t,\ 2\cdot a\cdot \sin {\tfrac {t}{2}}\right).$ 

• Уравнения проекций на плоскости $(xy)$$(x\,y)$ , $(yz)$$(y\,z)$ , $(xz)$$(x\,z)$ :

  $x(z)=2r-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{2r},$$x(z)=2\,r-{\dfrac {z^{2}}{2\,r}}\,,$ 

  $y(z)=\pm <!--\; \pm \; -->z\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{4r^2}},$$y(z)=\pm z\,{\sqrt {1-{\dfrac {z^{2}}{4\,r^{2}}}}}\,,$ 

  $y(x)=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{x(2r-<!--\; -\; -->x)},$$y(x)=\pm {\sqrt {x(2\,r-x)}}\,,$ 

  $z(x)=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{2r(2r-<!--\; -\; -->x)},$$z(x)=\pm {\sqrt {2\,r\,(2\,r-x)}}\,,$ 

  $x(y)=r\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{r^2-<!--\; -\; -->y^2},$$x(y)=r\pm {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\,,$ 

  $z(y)=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{2r^2\pm <!--\; \pm \; -->2r\sqrt{r^2-<!--\; -\; -->y^2}}.$$z(y)=\pm {\sqrt {2\,r^{2}\pm 2\,r\,{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}}\,.$ 

СвойстваПравить

• Проекция кривой Вивиани на общую касательную цилиндра и сферы является лемнискатой Жероно.
• Кривая Вивиани на пересекающейся с цилиндром полусфере отделяет такие две области, что площадь оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы.

Доказательство

Найдём площадь поверхности $f(x,y)=\sqrt{4r^2-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->y^2}$$f(x,y)={\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2}}}$ , ограниченной кривой Вивиани, интегрированием в координатах $(xy)$$(x\,y)$ .

Площадь поверхности определяется привычным образом через интеграл:

$S_{\text{V.C.}}=\underset{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$S_{\text{V.C.}}=\int \limits _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,,$ 

где $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  — область, ограниченная кривой Вивиани.

Вычислим подынтегральное выражение:

$\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)}^2}=\frac{2r}{\sqrt{4r^2-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->y^2}}.$${\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}={\dfrac {2\,r}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}\,.$ 

Продолжая вычисление и учитывая симметричность области интегрирования относительно оси $x$$x\,$  (получая таким образом четыре одинаковых части), находим:

$S_{\text{V.C.}}=4\cdot <!--\; \cdot \; -->2r\underset{0}{\overset{2r}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{d}x\underset{0}{\overset{\sqrt{x(2r-<!--\; -\; -->x)}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{d}y\frac{1}{\sqrt{4r^2-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->y^2}}=8r\underset{0}{\overset{2r}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{d}x\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\sqrt{\frac{x}{2r}}=8r(-<!--\; -\; -->2r+4r\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}1)=8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2-<!--\; -\; -->16r^2=\frac{1}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(4r{)}^2-<!--\; -\; -->(4r{)}^2.$$S_{\text{V.C.}}=4\cdot 2\,r\,\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\int \limits _{0}^{\sqrt {x\,(2\,r-x)}}\mathrm {d} y\,{\dfrac {1}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}=8\,r\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\,\mathrm {arctg} {\sqrt {\dfrac {x}{2\,r}}}=8\,r\,(-2\,r+4\,r\,\mathrm {arctg} \,1)=8\,\pi \,r^{2}-16\,r^{2}={\dfrac {1}{2}}\,\pi \,(4\,r)^{2}-(4\,r)^{2}\,.$ 

Первое слагаемое в получившемся выражении представляет собой площадь полусферы диаметра $4r$$4\,r$ , второе слагаемое — площадь квадрата со стороной, равной этому же диаметру.

Таким образом, разность площадей полусферы и рассматриваемой поверхности равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы:

$S_{\text{hemisphere}}-<!--\; -\; -->S_{\text{V.C.}}=(4r{)}^2,$$S_{\text{hemisphere}}-S_{\text{V.C.}}=(4\,r)^{2}\,,$ 

что и требовалось доказать.

ЛитератураПравить

• Берже М. Геометрия, тт. 1—2. М: Мир, 1984.
• Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bologna, 1925.
• Roero C.S. L'intérêt international d'un problème proposé par Viviani, Actes de l’Univ. d'Été Hist. des Math., I.R.E.M. Toulouse, 1986.
• Roero C.S. The Italian challange to Leibnitzian calculus in 1692. Leibnitz and Viviani: a comparison of two epistemologies, V Int. Congress Leibnitz, Hannover, 1988.