Лапчатка (узел)

Эта статья об узле; о растении см. Лапчатка.

В теории узлов узел «Лапчатка», известный также как печать Соломона или пятилистник, — это один из двух узлов с числом пересечений пять, другой узел — трижды скрученный узел. Узел перечислен как узел 5₁ в записи Александера-Бриггса^[en] и может быть также описан как (5,2)-торический узел. Лапчатка является замкнутой версией двойного узла^[en].

Лапчатка
Обозначения
Конвея	[5]
Александера–Бриггса[en]	51
Даукера[en]	6, 8, 10, 2, 4
Многочлены
Александера	$t^2-<!--\; -\; -->t+1-<!--\; -\; -->t^{-<!--\; -\; -->1}+t^{-<!--\; -\; -->2}$$t^{2}-t+1-t^{{-1}}+t^{{-2}}$
Джонса	$q^{-<!--\; -\; -->2}+q^{-<!--\; -\; -->4}-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->5}+q^{-<!--\; -\; -->6}-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->7}$$q^{{-2}}+q^{{-4}}-q^{{-5}}+q^{{-6}}-q^{{-7}}$
Конвея	$z^4+3z^2+1$$z^{4}+3z^{2}+1$
Инварианты
Инвариант Арфа[en]	1
Длина косы	5
Число нитей	2
Число мостов	2
Число плёнок[en]	1
Число пересечений	5
Род	2
Гиперболический объём	нет
Число отрезков	8
Число развязывания	2
Свойства
Простой, торический, альтернированный, расслоенный, двусторонний
Медиафайлы на Викискладе

Съедобный узел «лапчатка».

Лапчатка является простым узлом, его число закрученности равно 5 и он является обратимым, но он не амфихирален. Его многочлен Александера равен

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(t)=t^2-<!--\; -\; -->t+1-<!--\; -\; -->t^{-<!--\; -\; -->1}+t^{-<!--\; -\; -->2}$$\Delta (t)=t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}$,

многочлен Конвея равен

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}(z)=z^4+3z^2+1$$\nabla (z)=z^{4}+3z^{2}+1$,

а его многочлен Джонса равен

$V(q)=q^{-<!--\; -\; -->2}+q^{-<!--\; -\; -->4}-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->5}+q^{-<!--\; -\; -->6}-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->7}$$V(q)=q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}$.

Удивительно, но это те же самые полиномы Александера, Конвея и Джонса, что и у узла 10₁₃₂. Однако многочлен Кауфмана может быть использован для различения этих двух узлов.

Название «лапчатка» узел получил по аналогии с пятилепестковым цветком лапчатка.

Сборка Лапчатка (узел)

См. такжеПравить

• Пентаграмма
• Трилистник
• Узел 7₁^[en]
• Скейн-соотношение

ЛитератураПравить

• A Pentafoil Knot (англ.). Дата обращения: 10 июня 2015. Архивировано из оригинала 4 июня 2004 года.