Критерий Попова

Критерий По́пова — условие абсолютной устойчивости нелинейной системы управления c нелинейностью, лежащей в секторе.

Формулировка критерияПравить

Рассматривается следующая система управления:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=Ax+Bu,$${\dot {x}}=Ax+Bu,$ 

$y=Cx,$$y=Cx,$ 

$u=-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(y),$$u=-\psi (y),$ 

где $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$ , $u,y\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$u,y\in \mathbb {R}$ , $A,B,C$$A,B,C$  — матрицы подходящих размерностей, $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  — нелинейная функция со значениями в $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ . Предполагается, что

• матрица $A$$A$  — гурвицева,
• пара $(A,B)$$(A,B)$  управляема,
• пара $(A,C)$$(A,C)$  наблюдаема,
• функция $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  лежит в секторе $[0,k]$$[0,k]$  для некоторого положительного числа $k$$k$ , то есть

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(y)[\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(y)-<!--\; -\; -->ky]⩽<!--\; ⩽\; -->0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}.$$\psi (y)[\psi (y)-ky]\leqslant 0,\ \forall y\in \mathbb {R} .$ 

Тогда если найдётся такое неотрицательное число $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$\eta$ , что число $-<!--\; -\; -->1/\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$-1/\eta$  не является собственным числом $A$$A$  и

$\text{Re}\left(1+(1+i\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})kG(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right)>0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},$${\mbox{Re}}\left(1+(1+i\eta \omega )kG(i\omega )\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} ,$ 

где $G(s)=C(sE-<!--\; -\; -->A{)}^{-<!--\; -\; -->1}B$$G(s)=C(sE-A)^{-1}B$  — передаточная функция системы, то система абсолютно устойчива, то есть она равномерно асимптотически устойчива с любой нелинейностью $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$ , удовлетворяющей секторному условию.

С использованием формулы $G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\text{Re}\left(G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right)+i\text{Im}\left(G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right)$$G(i\omega )={\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)+i{\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)$  можно привести указанное неравенство к следующему виду:

$\frac{1}{k}+\text{Re}\left(G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right)-<!--\; -\; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\text{Im}\left(G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right)>0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}.$${\dfrac {1}{k}}+{\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)-\eta \omega {\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} .$ 

Если построить график левой части неравенства как функции от $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ , используя в качестве оси абсцисс $\text{Re}\left(G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right)$${\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)$ , а в качестве оси ординат $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\text{Im}\left(G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right)$$\omega {\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)$ , то неравенство будет выполняться, если график будет лежать справа от прямой, проходящей через точку $(-<!--\; -\; -->1/k,0)$$(-1/k,0)$  с угловым коэффициентом $1/\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$1/\eta$ . Такой способ изображения называется годографом Попова (сравни с годографом Найквиста).

ЛитератураПравить

• Khalil, H. K.. Nonlinear systems (англ.). — 2nd ed. — Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996. — ISBN 0-13-228024-8.

См. такжеПравить

• Круговой критерий