Круговой критерий

Круговой критерий — условие абсолютной устойчивости нелинейной системы управления c нелинейностью, лежащей в секторе.

ФормулировкаПравить

Рассматривается следующая система управления:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=Ax+Bu,$${\dot {x}}=Ax+Bu,$ 

$y=Cx,$$y=Cx,$ 

$u=-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t,y),$$u=-\psi (t,y),$ 

где $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$ , $u,y\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$u,y\in \mathbb {R}$ , $A,B,C$$A,B,C$  — матрицы подходящих размерностей, $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  — нелинейная функция со значениями в $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ . Передаточная функция $G(s)$$G(s)$  данной системы равна $C(sE-<!--\; -\; -->A{)}^{-<!--\; -\; -->1}B$$C(sE-A)^{-1}B$ . Предполагается, что

• пара $(A,B)$$(A,B)$  управляема,
• пара $(A,C)$$(A,C)$  наблюдаема,
• функция $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  лежит в секторе $[\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}]$$[\alpha ,\beta ]$  для некоторых вещественных чисел $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , то есть

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{y}^2⩽<!--\; ⩽\; -->y\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t,y)⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{y}^2,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}t⩾<!--\; ⩾\; -->0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}.$$\alpha y^{2}\leqslant y\psi (t,y)\leqslant \beta y^{2},\ \forall t\geqslant 0,\ \forall y\in \mathbb {R} .$ 

Тогда система абсолютно устойчива (то есть она равномерно асимптотически устойчива с любой нелинейностью $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$ , удовлетворяющей секторному условию), если выполняется одно из следующих условий:

1. при $0<\alpha <\beta$  годограф Найквиста $G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$G(i\omega )$  не пересекает окружность диаметра $\frac{1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$${\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\beta }}$  с центром в точке $\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\right),0\right)$$\left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right),0\right)$  и оборачивается вокруг неё $m$$m$  раз, двигаясь против часовой стрелки, где $m$$m$  — количество полюсов $G(s)$$G(s)$ , имеющих положительную вещественную часть.
2. при $0=\alpha <\beta$  функция $G(s)$$G(s)$  — гурвицева и годограф Найквиста $G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$G(i\omega )$  лежит справа от вертикальной прямой $\left\{z\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}|\text{Re}(z)=-<!--\; -\; -->1/\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\right\}$$\left\lbrace z\in \mathbb {C} \ |\ {\mbox{Re}}(z)=-1/\beta \right\rbrace$ .
3. при $\alpha <0<\beta$  функция $G(s)$$G(s)$  — гурвицева и годограф Найквиста $G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$G(i\omega )$  целиком содержится внутри окружности диаметра $\frac{1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$${\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\beta }}$  с центром в точке $\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\right),0\right)$$\left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right),0\right)$ .

Каждое из геометрических условий является частным случаем следующего частотного неравенства:

$\text{Re}\left(\frac{1+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}{1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}G(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}\right)>0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}.$${\mbox{Re}}\left({\dfrac {1+\beta G(i\omega )}{1+\alpha G(i\omega )}}\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} .$ 

Критерий получил своё название из-за фигурирующих в условиях 1 и 3 кругов. Условие 2 аналогично условию другого критерия абсолютной устойчивости — критерия Попова.

ЛитератураПравить

• Khalil, H. K.. Nonlinear systems (англ.). — 2nd ed. — Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996. — ISBN 0-13-228024-8.