Подгруппа кручения

Подгру́ппа круче́ния — это подгруппа, образуемая множеством элементов конечного порядка в абелевой группе. Подгруппа кручения абелевой группы $A$$A$ обозначается $\mathrm{Tor}A$$\operatorname {Tor}\,A$. Подгруппой p-кручения ${\mathrm{Tor}}_{p}A$$\operatorname {Tor}_{p}\,A$ называется множество всех элементов, порядок которых суть некоторая степень p. Подгруппы кручения и p-кручения группы определены однозначно. Любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму вида

$A\cong <!--\; \cong \; -->{\mathbb{Z}}^n\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathrm{Tor}A\simeq <!--\; \simeq \; -->{\mathbb{Z}}^n\oplus <!--\; \oplus \; -->\underset{i}{⨁<!--\; ⨁\; -->}{\mathrm{Tor}}_{p_i}A$$A\cong \mathbb{Z } ^{n}\oplus \operatorname {Tor}\,A\simeq \mathbb{Z } ^{n}\oplus \bigoplus \limits _{i}\operatorname {Tor}_{{p_{i}}}\,A$

где $p_i$$p_{i}$ — простые числа. ${\mathrm{Tor}}_{p_i}\cong <!--\; \cong \; -->{\mathbb{Z}}_{p_i^{k_i}}^{+}$$\operatorname {Tor}_{{p_{i}}}\cong {\mathbb {Z}}_{{p_{i}^{{k_{i}}}}}^{{+}}$. Компоненты ${\mathrm{Tor}}_{p_i}$$\operatorname {Tor}_{{p_{i}}}$ являются примарными. Существует и другое разложение подгруппы кручения: $\mathrm{Tor}A\cong <!--\; \cong \; -->{\mathbb{Z}}_{u_1}\oplus <!--\; \oplus \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->{\mathbb{Z}}_{u_r}$$\operatorname {Tor}\,A\cong {\mathbb {Z}}_{{u_{1}}}\oplus \ldots \oplus {\mathbb {Z}}_{{u_{r}}}$, где $u_1\mid <!--\; \mid \; -->u_2,...,u_{r-<!--\; -\; -->1}\mid <!--\; \mid \; -->u_r$$u_{1}\mid u_{2},...,u_{{r-1}}\mid u_{r}$. Числа $u_i$$u_{i}$ также определены однозначно и называются инвариантными множителями группы.

См. такжеПравить

• Группа с кручением
• Кручение (алгебра)

ЛитератураПравить

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.