Липшицево отображение

Липшицево отображение (липшицевское отображение, также $L$$L$-липшицево отображение) — отображение, увеличивающее расстояние между образами точек не более чем в $L$$L$ раз, где $L$$L$ называется константой Липшица данной функции. Названо в честь Рудольфа Липшица.

ОпределениеПравить

Отображение $f$$f$  метрического пространства $(X,{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_X)$$(X,\;\rho _{X})$  в метрическое пространство $(Y,{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_Y)$$(Y,\;\rho _{Y})$  называется липшицевым, если найдётся такая константа $L$$L$  (константа Липшица этого отображения), что ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_Y(f(x),f(y))⩽<!--\; ⩽\; -->L\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_X(x,y)$$\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$  при любых $x,y\in <!--\; \in \; -->X$$x,\;y\in X$ . Это условие называют условием Липшица. Отображение с $L=1$$L=1$  (1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.

Липшицево отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  называется билипшицевым, если у него существует обратное $f^{-<!--\; -\; -->1}:<!--\; :\; -->Y\to <!--\; \to \; -->X$$f^{{-1}}\colon Y\to X$ , которое также является липшицевым.

Отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  называется колипшицевым, если существует константа $L$$L$  такая, что для любых $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  и $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$  найдётся $x^{\prime }\in <!--\; \in \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}(y)$$x'\in f^{{-1}}(y)$  такое, что ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_Y(f(x),y)⩽<!--\; ⩽\; -->L\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_X(x,x^{\prime })$$\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')$ .

ИсторияПравить

Отображения со свойством:

$|f(x)-<!--\; -\; -->f(y)|⩽<!--\; ⩽\; -->L\cdot <!--\; \cdot \; -->|x-<!--\; -\; -->y{|}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->1$$|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|x-y|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1$ 

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1$$\alpha =1$ , а при $\alpha <1$  — условием Гёльдера.

СвойстваПравить

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

• Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

• (Лемма о липшицевости) Непрерывно дифференцируемая функция на компактном подмножестве евклидова пространства удовлетворяет условию Липшица. Обратное утверждение не верно.

• Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.

• Теорема Киршбрауна о продолжении утверждает, что любое $L$$L$ -липшицевское отображение из подмножества евклидова пространства в другое евклидово пространство может быть продолжено до $L$$L$ -липшицевского отображения на всё пространство.

Вариации и обобщенияПравить

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица эквивалентно условию $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(f,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})⩽<!--\; ⩽\; -->L\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta$ .
• Показатель Гёльдера