Теорема Киршбрауна о продолжении

Теорема Киршбрауна о продолжении (иногда называется теорема Валентайн) — теорема о существовании продолжения липшицевой функции определённой на подмножестве евклидова пространства на всё пространство.

ФормулировкаПравить

Пусть $S$$S$  произвольное подмножество евклидова пространства ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , тогда произвольное короткое отображение $f:S\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m$$f:S\to \mathbb {R} ^{m}$  можно продолжить до короткого отображения $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m$${\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ; иначе говоря, существует короткое отображение $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m$${\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$  такое, что $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}{|}_S=f$${\bar {f}}|_{S}=f$ .

Вариации и обобщенияПравить

• Естественно обобщается на
  • Отображения из подмоножества гильбертова пространства в гильбертово пространство.
  • Отображения из подмоножества пространства Лобачевского в пространство Лобачевского той же кривизны
• Аналогичный результат для отбражений между сферами не верен, однако теорема остаётся верной для
  • Отображения из подмоножества сферы в полусферу той же кривизны.
  • Отображения из подмоножества сферы в сферу той же кривизны не меньшей размерности.
• Аналогичный результат для банаховых пространств неверен.

Метрическая геометрия

• Обобщение теоремы Киршбрауна на метрические пространства дано Лэнгом и Шрёдерем
• Любое короткое отображение определённое на подмножестве произвольного метрического пространства со значениями в инъективном пространстве допускает короткое продолжение на всё пространство. Это даёт другое обобщение теоремы на метрические пространства. К инъективным пространствам относятся вещественная прямая и метрические деревья а также $L^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$L^{\infty }$ -пространства.
• Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если $X$$X$  — метрическое пространство со свойством удвоения и $A\subset <!--\; \subset \; -->X$$A\subset X$  и $V$$V$  — банахово пространство, то любое $L$$L$ -Липшицево отображение $A\to <!--\; \to \; -->V$$A\to V$  продолжается до $C\cdot <!--\; \cdot \; -->L$$C\cdot L$ -Липшицева отображения $X\to <!--\; \to \; -->V$$X\to V$ , где константа $C$$C$  зависит только от параметра в свойстве удвоения.

ИсторияПравить

Была доказана в диссертации Мойжеша Киршбрауна (защищена в 1930). Позже эту теорему передоказал Фредерик Валентайн.

См. такжеПравить

• Теорема Титце о продолжении