Интегральный логарифм

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

График функции $\mathrm{l}\mathrm{i}(x)$${\mathrm {li}}\,(x)$

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{dt}{\ln <!--\; \; -->t}.$${\mathrm {li}}\,(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.$

Для устранения сингулярности при $x=1$$x=1$ иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{dt}{\ln <!--\; \; -->t}.$${\mathrm {Li}}\,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.$

Эти две функции связаны соотношением:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)-<!--\; -\; -->\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\mathrm{l}\mathrm{i}(2)\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,045}163780117492\dots <!--\; \dots \; -->$${\mathrm {li}}\,(x)-{\mathrm {Li}}\,(x)={\mathrm {li}}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots$

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln <!--\; \; -->x).$${\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x).$

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,451}369234883381050283968485892027449493\dots <!--\; \dots \; -->$$\mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots$ (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в рядПравить

Из тождества, связывающего $\mathrm{l}\mathrm{i}(x)$${\mathrm {li}}\,(x)$  и $\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln <!--\; \; -->x)$${\mathrm {Ei}}(\ln x)$  следует ряд:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln <!--\; \; -->x)=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+\ln <!--\; \; -->\ln <!--\; \; -->x+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(\ln <!--\; \; -->x{)}^n}{n\cdot <!--\; \cdot \; -->n!},$${\mathrm {li}}\,(x)={\mathrm {Ei}}\,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},$ 

где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,577}215664901532\dots <!--\; \dots \; -->$$\gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots$  — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+\ln <!--\; \; -->\ln <!--\; \; -->x+\sqrt{x}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->1}(\ln <!--\; \; -->x{)}^n}{2^{n-<!--\; -\; -->1}n!}\underset{k=0}{\overset{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->(n-<!--\; -\; -->1)/2\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2k+1}.$${\mathrm {li}}\,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n-1}}(\ln x)^{n}}{2^{{n-1}}n!}}\sum _{{k=0}}^{{\lfloor (n-1)/2\rfloor }}{\frac {1}{2k+1}}.$ 

Интегральный логарифм и распределение простых чиселПравить

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем $x/\ln <!--\; \; -->x$$x/\ln {x}$ . При справедливости гипотезы Римана выполняется

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)=\mathrm{L}\mathrm{i}(x)+O(\sqrt{x}{\ln }^2<!--\; \; -->(x)).$$\pi (x)=\mathrm {Li} \,(x)+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}(x)).$ 

Для не слишком больших $x$$x$  $\pi (x)<{\mathrm {Li}}\,(x)$ , однако доказано, что при некотором достаточно большом $x$$x$  неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза, в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 10¹⁹ и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108}.

ЛитератураПравить

• Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.