Интегральная показательная функция

Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом $\mathrm{Ei}$$\operatorname {Ei}$.

График функции $\mathrm{Ei}<!--\; \; -->(x)$$\operatorname {Ei} (x)$

Определение на множестве вещественных чиселПравить

Наиболее распространено следующее определение $\mathrm{Ei}$$\operatorname {Ei}$  (см. график):

$\mathrm{Ei}<!--\; \; -->(x)=\mathrm{v}.\mathrm{p}.\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+\ln <!--\; \; -->|x|+\underset{n\ge <!--\; \ge \; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{x^n}{n!\cdot <!--\; \cdot \; -->n},x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},(1)$$\operatorname {Ei} (x)=\mathrm {v.p.} \int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\gamma +\operatorname {ln} |x|+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\in \mathbb {R} ,\;(1)$ 

где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  есть постоянная Эйлера. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]

Основное определениеПравить

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом

$\operatorname {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\gamma +\operatorname {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z)|<\pi ,\;(2)$ 

Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от $z$$z$ , но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку $t=0$$t=0$ , в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно $1/t$$1/t$ . Таким образом, функция $\mathrm{Ei}<!--\; \; -->(z)$$\operatorname {Ei} (z)$  является многозначной, а особая точка $z=0$$z=0$  является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией $\ln <!--\; \; -->z$$\operatorname {ln} z$ , различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном $z$$z$ ) кратно $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i$$2\pi i$ .

Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) $\mathrm{Ei}$$\operatorname {Ei}$ , соответствующую главной ветви $\ln$$\operatorname {ln}$  в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для $\ln <!--\; \; -->z$$\operatorname {ln} z$  (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции $\mathrm{Ei}<!--\; \; -->(z)$$\operatorname {Ei} (z)$ . Фиксируем также и главную ветвь аргумента: $-\pi <\operatorname {arg} z\leq \pi$  и далее будем считать, что $\mathrm{Ei}$$\operatorname {Ei}$  — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение $\mathrm{Ei}$$\operatorname {Ei}$ при вычислении интеграловПравить

Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию $\mathrm{Ei}$$\operatorname {Ei}$  и элементарные функции.

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что $b>0$$b>0$ )

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+iz}}={\begin{cases}-e^{bz}\operatorname {Ei} (-bz),&\operatorname {arg} z\not \in [\pi /2,\pi ],\\-e^{bz}\left[\operatorname {Ei} (-bz)-2\pi i\right],&\operatorname {arg} z\in (\pi /2,\pi ).\end{cases}}\;(2)$ 

Из (2) следует, что при вещественных значениях $y$$y$  и $b$$b$ 

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{x\cos <!--\; \; -->bx\mathrm{d}x}{x^2+y^2}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\left[e^{|by|}\mathrm{Ei}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->|by|)+e^{-<!--\; -\; -->|by|}{\mathrm{Ei}}_1<!--\; \; -->(|by|)\right],(3)$$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {1}{2}}\left[e^{|by|}\operatorname {Ei} (-|by|)+e^{-|by|}\operatorname {Ei} _{1}(|by|)\right],\;(3)$ 

где ${\mathrm{Ei}}_1$$\operatorname {Ei} _{1}$  есть т. н. модифицированная интегральная показательная функция:

${\mathrm{Ei}}_1<!--\; \; -->(y)=\frac{1}{2}\left[\mathrm{Ei}<!--\; \; -->(y+i0)+\mathrm{Ei}<!--\; \; -->(y-<!--\; -\; -->i0)\right]=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+\ln <!--\; \; -->y+\underset{n\ge <!--\; \ge \; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{y^n}{n!\cdot <!--\; \cdot \; -->n},y>0,{\mathrm{Ei}}_1<!--\; \; -->(y)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}.(4)$$\operatorname {Ei} _{1}(y)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Ei} (y+i0)+\operatorname {Ei} (y-i0)\right]=\gamma +\operatorname {ln} y+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {y^{n}}{n!\cdot n}},\;y>0,\;\operatorname {Ei} _{1}(y)\in \mathbb {R} .\;(4)$ 

Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию ${\mathrm{Ei}}_1$$\operatorname {Ei} _{1}$  обозначают символом $\mathrm{Ei}$$\operatorname {Ei}$ , что может приводить к ошибкам.

При получении результата (3) было использовано значение интеграла

${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{x\sin <!--\; \; -->bx\mathrm{d}x}{x^2+z^2}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\exp <!--\; \; -->[-<!--\; -\; -->bz\mathrm{sign}<!--\; \; -->\mathrm{\Im <!--\; \Im \; -->}z],b>0.$$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2}}}={\frac {\pi }{2}}\operatorname {exp} [-bz\operatorname {sign} \Im z],\;b>0.$ 

Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов $b$$b$  и $y$$y$ . Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) $\mathrm{Ei}$$\operatorname {Ei}$ ] символа ${\mathrm{Ei}}_1$$\operatorname {Ei} _{1}$ .

Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра $z$$z$ :

${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{x\cos <!--\; \; -->bx\mathrm{d}x}{x^2+z^2}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\left\{e^{bz}\mathrm{Ei}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->bz)+e^{-<!--\; -\; -->bz}\left[\mathrm{Ei}<!--\; \; -->(bz)+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i\mathrm{sign}<!--\; \; -->\mathrm{\Im <!--\; \Im \; -->}z\right]\right\},b>0,\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}z\ne <!--\; \ne \; -->0.(5)$$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2}}}=-{\frac {1}{2}}\left\{e^{bz}\operatorname {Ei} (-bz)+e^{-bz}\left[\operatorname {Ei} (bz)+\pi i\operatorname {sign} \Im z\right]\right\},\;b>0,\;\Re z\neq 0.\;(5)$ 

Формулу (3) для $b>0$$b>0$  и $y>0$$y>0$  можно получить, положив $z=y\pm <!--\; \pm \; -->i0$$z=y\pm i0$  в (5).

Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова, однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений $z$$z$  и при условии, что для функции $\mathrm{Ei}$$\operatorname {Ei}$  используется определение (1).

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа $\mathrm{Ei}$$\operatorname {Ei}$  вместо ${\mathrm{Ei}}_1$$\operatorname {Ei} _{1}$ ) нельзя полностью доверять также и справочникам.

См. такжеПравить

• Интегральный логарифм
• Интегральный синус
• Интегральный косинус