Теорема Бруна

Теорема Бруна утверждает, что сумма чисел, обратных числам-близнецам (парам простых чисел, которые отличаются лишь на 2) сходится к конечному значению, известному как константа Бруна, которая обозначается как B₂ (последовательность A065421 в OEIS). Теорему Бруна доказал Вигго Брун в 1919, и она имеет историческое значение для методов решета^[en].

Сходимость к константе Бруна.

Асимптотические границы чисел-близнецовПравить

Сходимость суммы обратных к числам-близнецам следует из ограниченности плотности последовательности чисел-близнецов. Пусть ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2(x)$$\pi _{2}(x)$  означает число простых $p⩽<!--\; ⩽\; -->x$$p\leqslant x$  чисел, для которых p + 2 тоже является простым (т.е. ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2(x)$$\pi _{2}(x)$  является числом чисел-двойников, не превосходящих x). Тогда для $x⩾<!--\; ⩾\; -->3$$x\geqslant 3$  мы имеем

${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2(x)=O\left(\frac{x(\log <!--\; \; -->\log <!--\; \; -->x{)}^2}{(\log <!--\; \; -->x{)}^2}\right).$$\pi _{2}(x)=O\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right).$ 

То есть числа-близнецы более редки по сравнению с простыми числами почти на логарифмический множитель. Из этого ограничения следует, что сумма обратных к числам-близнецам сходится, или, другими словами, числа-близнецы образуют маленькое множество^[en]. Сумма в явном виде

$\underset{p:p+2\in <!--\; \in \; -->\mathbb{P}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}\right)=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\cdots <!--\; \cdots \; -->$$\sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots$ 

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится к значению, известному как константа Бруна.

Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. Поскольку сумма обратных значений чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно заключить, что существует бесконечно много чисел-близнецов. Константа Бруна иррациональна только в случае бесконечного числа чисел-двойников.

Числовые оценкиПравить

При вычислении чисел-двойников вплоть до 10¹⁴ (и обнаружении по пути ошибки Pentium FDIV), Томас Р. Найсли эвристически оценил константу Бруна примерно равной 1,902160578. Найсли расширил вычисления до 1,6⋅10¹⁵ к 18 января 2010, но это не было самое большое вычисление этого типа.

В 2002 Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все числа-двойники вплоть до 10¹⁶ и получили оценку

B₂ ≈ 1,902160583104.

Оценка опирается на оценку суммы в 1,830484424658... для чисел-двойников, меньших 10¹⁶. Доминик Клайв показал (в неопубликованных тезисах), что B₂ < 2.1754 в предположении, что верна расширенная гипотеза Римана.

Существует также константа Бруна для квадруплетов близнецов. Квадруплет простых чисел^[en] — это пара двух простых двойников, разделённых расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Несколько квадруплетов — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для квадруплетов, обозначаемая B₄, является суммой обратных чисел ко всем квадруплетам:

$B_4=\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\left(\frac{1}{101}+\frac{1}{103}+\frac{1}{107}+\frac{1}{109}\right)+\cdots <!--\; \cdots \; -->$$B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots$ 

И эта сумма равна

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, ошибка имеет уровень уверенности в 99 % (согласно Найсли).

Эту константу не следует путать с константой Бруна для родственных простых чисел^[en], пар простых чисел вида (p, p + 4), поскольку эта константа тоже записывается как B₄.

Дальнейшие результатыПравить

Пусть $C_2=0,6601\dots <!--\; \dots \; -->$$C_{2}=0,6601\ldots$  (последовательность A005597 в OEIS) — константа простых-близнецов. Есть гипотеза, что

${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_2(x)\sim <!--\; \sim \; -->2C_2\frac{x}{(\log <!--\; \; -->x{)}^2}.$$\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.$ 

В частности,

$\pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}$ 

для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  и всех достаточно больших x.

Многие специальные случаи, упомянутые выше, были доказаны. Недавно Цзие У (Jie Wu) доказал, что для достаточно большого x,

$\pi _{2}(x)<4,5{\frac {x}{(\log x)^{2}}}$ ,

где 4,5 соответствует случаю $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->3,18$$\varepsilon \approx 3,18$  выше.

В популярной культуреПравить

Цифры константы Бруна были использованы в заявке в $1.902.160.540 на патентном аукционе Nortel. Заявка была опубликована компанией Google и была одной из трёх заявок Google, основанных на математических константах.

См. такжеПравить

• Ряд обратных простых чисел
• Константа Майсселя — Мертенса

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Brun's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Brun's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Brun's constant (англ.) на сайте PlanetMath.
• Sebah, Pascal and Xavier Gourdon, Introduction to twin primes and Brun's constant computation, 2002. A modern detailed examination.
• Wolf's article on Brun-type sums