Клелия (кривая)

Кле́лия — пространственная геометрическая фигура: кривая на сфере, задаваемая в сферических координатах уравнением

Клелия при $c=1/4.$$c=1/4.$

Проекции клелий на экваториальную плоскость при различных $c.$$c.$ Части кривых на тыльной стороне сферы изображены пунктирными линиями.

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=c\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$$\varphi =c\,\theta ,$

где переменные $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ и $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ — соответственно азимутальный и зенитный углы, $c>0$$c>0$ — некоторая константа.

Клелии были впервые описаны итальянским математиком Гвидо Гранди во второй части работы «Геометрические цветы» («Flores geometrici», 1728) и названы им в честь современницы, математика Клелии Борромео.

Проекции клелий на экваториальную плоскость $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\theta =\pi /2$ являются розами — плоскими кривыми, также открытыми Гранди и описанными им в первой части той же работы.

Доказательство

Запишем уравнение клелии в виде $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{c}$$\theta ={\frac {\varphi }{c}}$ и возьмём от обеих частей синус: $\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{c}.$$\sin \theta =\sin {\frac {\varphi }{c}}.$

Перейдём к цилиндрическим координатам: с учётом $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\rho =r\sin \theta$ уравнение кривой можно записать как $\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{r}=\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{c}.$${\frac {\rho }{r}}=\sin {\frac {\varphi }{c}}.$

Величина $r$$r$ на сфере постоянна; обозначим её $r=a.$$r=a.$ Обозначим $\frac{1}{c}=k.$${\frac {1}{c}}=k.$ Обе константы положительны.

Получаем $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=a\sin <!--\; \; -->k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\rho =a\sin k\varphi$ — уравнение розы в полярных координатах.

На практике форму клелий имеют круговые полярные орбиты спутников. При этом константа $c$$c$ равна отношению периода обращения спутника к периоду осевого вращения центрального тела.

Частным случаем клелии, при $c=1,$$c=1,$ является кривая Вивиани. Она соответствует синхронной орбите.

Всякая клелия проходит через северный $\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=0\right)$$\left(\theta =0\right)$ и южный $\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right)$$\left(\theta =\pi \right)$ полюса сферы. При рациональном $c$$c$ кривая замкнута и имеет конечную длину, при иррациональном — не замкнута и её длина бесконечна.

СсылкиПравить

• Clelia на сайте Mathcurve.com (Архивная копия от 2 января 2021 на Wayback Machine)

 

Клелии. На рисунках $m=1/c.$$m=1/c.$