Роза (плоская кривая)

Ро́за — плоская кривая, напоминающая символическое изображение цветка.

Общий вид полярной розы, задаваемой уравнением $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\sin <!--\; \; -->k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\rho =\sin k\varphi$, при различных значениях $k=\frac{n}{d}$$k={n \over d}$

ИсторияПравить

Впервые об этой кривой упоминает флорентийский монах Гвидо Гранди в двух письмах Лейбницу в декабре 1713 года и называет её «розовидной» («rhodonea», от др.-греч. ῥόδον — «роза»). Через десять лет он опубликовал статью о ней в «Философских трудах Королевского общества», где рассмотрел разновидности этой кривой с различным количеством лепестков и также называл их «розовидными». Ещё через пять лет Гвидо Гранди развил теорию розовидных кривых в отдельном труде, где наряду с этим рассмотрел похожие на них пространственные кривые, лежащие на сфере, которые он назвал «клелиями» в честь княгини Клелии Борромео.

ОписаниеПравить

Данная кривая описывается уравнением в полярной системе координат в виде

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=a\sin <!--\; \; -->k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$$\rho =a\sin k\varphi \,.$ 

Здесь $a$$a$  и $k$$k$  — постоянные, определяющие размер (a) и количество лепестков (k) данной розы. Вся кривая располагается внутри окружности радиуса $a$$a$  и в случае $k>1$$k>1$  состоит из одинаковых по форме и размеру лепестков. Количество лепестков в данном случае определяется величиной $k$$k$ .

Для целого $k$$k$  число лепестков равно $k$$k$ , если $k$$k$  нечётное и $2k$$2k$ , — если чётное. Для дробного $k$$k$  вида $k=\frac{m}{n}$$k={\frac {m}{n}}$ , где $m$$m$  и $n$$n$  взаимно простые, количество лепестков розы равно $m$$m$ , если оба числа нечётные и $2m$$2m$ , если хотя бы одно — чётно. При $k$$k$  иррациональном лепестков бесконечно много.

При значениях $k>1$$k>1$  роза является гипотрохоидой, а при $k<1$  — эпитрохоидой.

См. такжеПравить

• Кривая Рибокура
• Синусоидальная спираль
• Спирограф (игрушка)

ЛитератураПравить

• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
• Loria, Gino. Achtes Kapitel. Die Rhodoneen (Rosenkurven) von G. Grandi // Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. — Leipzig, 1902. — P. 297—306.