Квант магнитного потока

CODATA значения	Единицы
Φ0	2.067833 848 … × 10−15	Вб
KJ	483597,8484… × 109	Гц/В
KJ-90	483597,9 × 109	Гц/В

Квант магнитного потока — макроскопическое квантовое явление, состоящее в том, что магнитный поток через кольцо из сверхпроводника с током может принимать только дискретные значения с минимальным значением Φ₀ = h/(2e) ≈ 2.067833 848 … × 10⁻¹⁵ Вб, которое представляет собой комбинацию фундаментальных физических констант: постоянной Планка h и элементарного электрического заряда e. Следовательно, его значение одинаково для любого сверхпроводника. Явление квантования потока было открыто экспериментально Б. С. Дивером^[en] и У. М. Фэрбэнком^[en] и независимо Р. Доллом^[de] и М. Небауэром^[de] в 1961 году. Квантование магнитного потока тесно связано с эффектом Литтла — Паркса, но было предсказано ранее Фрицем Лондоном в 1948 году с использованием феноменологической модели^[en].

Обратная величина кванта потока, 1/Φ₀, называется постоянной Джозефсона и обозначается K_J. Это константа пропорциональности измеримая в эффекте Джозефсона, связывающая разность потенциалов на переходе Джозефсона с частотой облучения. Эффект Джозефсона очень широко используется для создания стандарта для высокоточных измерений разности потенциалов, которые (с 1990 по 2019 год) были связаны с фиксированным, условным значением^[en] постоянной Джозефсона, обозначаемой K_J-90. С переопределением основных единиц СИ в 2019 году постоянная Джозефсона имеет точное значение K_J = 483 597,84841698 ГГц⋅В⁻¹, которое заменило общепринятое значение K_J-90.

ВведениеПравить

В следующих физических уравнениях используются единицы СИ. В единицах СГС появится коэффициент c (скорость света).

В классической электродинамике магнитный поток, обозначаемый символом Φ, пронизывающий некоторый контур или петлю, определяется как магнитное поле B, умноженное на площадь петли S, то есть Φ = B ⋅ S. Вектора B и S могут быть произвольными, как и Φ. Однако, для сверхпроводящей петлей или отверстия в объёмном сверхпроводнике, магнитный поток, пронизывающий такую дыру/петлю, квантуется.

Сверхпроводящие свойства в каждой точке сверхпроводника описываются комплексной квантово-механической волновой функцией Ψ(r,t) — сверхпроводящим параметром порядка. Как и любую комплексную функцию, Ψ можно записать в виде Ψ = Ψ₀e^iθ, где Ψ₀ — амплитуда, а θ — фаза. Изменение фазы θ на 2πn не изменит Ψ и, соответственно, не изменит никаких физических свойств. Однако в сверхпроводнике с нетривиальной топологией, например сверхпроводнике с дыркой или сверхпроводящей петле/цилиндре, фаза θ может непрерывно изменяться от некоторого значения θ₀ до значения θ₀ + 2πn по мере обхода дырки/петли и приходит к одному и тому же исходному значению. Если это так, то в дырке/петле захвачено n квантов магнитного потока, как показано ниже:

При минимальном взаимодействии^[en] ток вероятности куперовских пар в сверхпроводнике равен

$\mathbf{J}=\frac{1}{2m}\left[\left({\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->})\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}){\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\right)-<!--\; -\; -->2q\mathbf{A}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{|}^2\right].$$\mathbf {J} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}(-i\hbar \nabla )\Psi -\Psi (-i\hbar \nabla )\Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,.$ 

Здесь волновая функция представляет собой параметр порядка Гинзбурга — Ландау

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(\mathbf{r})=\sqrt{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathbf{r})}{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(\mathbf{r})}.$$\Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\rho (\mathbf {r} )}}\,e^{i\theta (\mathbf {r} )}\,.$ 

Подставив в выражение тока вероятности, получим

$\mathbf{J}=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{m}\left(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{q}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\mathbf{A}\right)\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}.$$\mathbf {J} ={\frac {\hbar }{m}}\left(\nabla {\theta }-{\frac {q}{\hbar }}\mathbf {A} \right)\rho \,.$ 

В то время как внутри объёма сверхпроводника плотность тока J равна нулю. Поэтому $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\frac{q}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\mathbf{A}.$$\nabla {\theta }={\frac {q}{\hbar }}\mathbf {A} \,.$  Интегрирование вокруг отверстия/петли с использованием теоремы Стокса и $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{A}=B$$\nabla \times \mathbf {A} =B$  даёт

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B=\oint <!--\; \oint \; -->\mathbf{A}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{l}=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{q}\oint <!--\; \oint \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{l}.$$\Phi _{B}=\oint \mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} ={\frac {\hbar }{q}}\oint \nabla {\theta }\cdot d\mathbf {l} \,.$ 

Отсюда, поскольку параметр порядка должен иметь то же значение, когда интеграл возвращается в ту же точку

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{q}2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=\frac{h}{2e}.$$\Phi _{B}={\frac {\hbar }{q}}2\pi ={\frac {h}{2e}}\,.$ 

Из-за эффекта Мейснера магнитная индукция B внутри сверхпроводника равна нулю. Точнее, магнитное поле H проникает в сверхпроводник на небольшое расстояние, называемое лондоновской глубиной проникновения магнитного поля (обозначается λ_L и обычно составляет ≈ 100 nm). Экранирующие токи также протекают в этом λ_L-слое вблизи поверхности, создавая намагниченность M внутри сверхпроводника, которая полностью компенсирует приложенное внешнее поле H, в результате чего B = 0 внутри сверхпроводника.

Магнитный поток, вмороженный в петлю/дырку (плюс её λ_L-слой), всегда будет квантоваться. Однако величина кванта потока равна Φ₀ только тогда, когда путь/траекторию вокруг описанной выше дырки можно выбрать так, чтобы она лежала в сверхпроводящей области без экранирующих токов, то есть на расстоянии нескольких λ_L от поверхности. Существуют геометрии, где это условие не может быть выполнено, например, петля из очень тонкой (≤ λ_L) сверхпроводящей проволоки или цилиндр с такой же толщиной стенок. В последнем случае поток имеет значение, отличное от Φ₀.

Квантование потока является ключевой идеей лежащей в основе физики СКВИДа, который является одним из самых чувствительных доступных магнитометров.

Квантование потока также играет важную роль в физике сверхпроводников II рода. Когда такой сверхпроводник (теперь уже без дырок) помещают в магнитное поле с напряжённостью между первым критическим полем H_c1 и вторым критическим полем H_c2, поле частично проникает в сверхпроводник в виде абрикосовских вихрей. Вихрь Абрикосова состоит из нормального ядра — цилиндра нормальной (несверхпроводящей) фазы диаметром порядка ξ сверхпроводящей длины когерентности. Нормальная сердцевина играет роль дырки в сверхпроводящей фазе. Силовые линии магнитного поля проходят вдоль этого нормального сердечника через весь образец. Экранирующие токи циркулируют в λ_L-окрестности сердечника и экранируют остальную часть сверхпроводника от магнитного поля в сердечнике. Всего каждый такой абрикосовский вихрь несёт один квант магнитного потока Φ₀.

Измерение магнитного потокаПравить

 

На рисунке показано, как квантование потока измеряется простым способом для сверхпроводящих петель с одинаковой индуктивностью, но с различными случаями критического тока от 1 до 4.

До переопределения основных единиц СИ в 2019 году квант магнитного потока измерялся с большой точностью с использованием эффекта Джозефсона. В сочетании с измерением постоянной фон Клитцинга R_K = h/e² это обеспечило наиболее точные значения постоянной Планка h, полученные до 2019 года. Это может противоречить интуиции, поскольку h обычно связано с поведением микроскопически малых систем, тогда как квантование магнитного потока в сверхпроводнике и квантовый эффект Холла связаны с термодинамически большим числом частиц.

В результате переопределения основных единиц СИ в 2019 году постоянная Планка h имеет фиксированное значение $h=$$h=$  6,626 07015 × 10⁻³⁴ Дж ⋅ Гц⁻¹,который вместе с определениями секунды и метра даёт официальное определение килограмма. Кроме того, элементарный заряд также имеет фиксированное значение e = 1,602 176 634⋅10⁻¹⁹ Кл для определения ампера. Следовательно, и постоянная Джозефсона K_J = (2e)/h, и постоянная фон Клитцинга R_K = h/e² имеют фиксированные значения, и эффект Джозефсона наряду с квантовым эффектом Холла становятся первичным практическим применением для определения ампера и других электрических единиц в СИ.