Ток вероятности

В квантовой механике ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.

ОпределениеПравить

Ток вероятности $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$$\vec j$  определяется как

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2mi}\left({\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\right)=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{m}\text{Im}({\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->})$${\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)={\frac \hbar m}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi )$ 

и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}=0$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0$ 

с плотностью вероятности $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ , заданной

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{|}^2$$\rho =|\Psi |^{2}$ .

Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{|}^{2}dV+\underset{S}{\int <!--\; \int \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{dS}=0$${\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec j}\cdot {\vec {dS}}=0$ 

где $V$$V$  — объём и $S$$S$  — граница объёма $V$$V$ . Это закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

В частности, если $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$\Psi$  — волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах $V$$V$ , когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема $V$$V$ .

В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в $V$$V$  равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из $V$$V$ .

ПримерыПравить

Плоская волнаПравить

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}=A{e}^{i\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}$$\Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}$ 

запишется в виде

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2mi}|A{|}^2\left(e^{-<!--\; -\; -->i\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}{e}^{i\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}-<!--\; -\; -->e^{i\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->i\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}\right)=|A{|}^2\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}}{m}.$${\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}-e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^{{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec k}}{m}}.$ 

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=\frac{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}}{m}=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}}{m}$${\vec v}={\frac {{\vec p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec k}}{m}}$ .

Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно

$\frac{d|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{|}^2}{dt}=0$${\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0$ 

везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если её пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящикеПравить

Для одномерного ящика с бесконечными стенками длиной $L$$L$  ($0<x<L$ ), волновые функции запишутся в виде

${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin <!--\; \; -->\left(\frac{n\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{L}x\right)$$\Psi _{n}={\sqrt {{\frac {2}{L}}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$ 

и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде

$j_n=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2mi}\left({\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n^{\ast <!--\; \ast \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)=0$$j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0$ 

поскольку ${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n={\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n^{\ast <!--\; \ast \; -->}.$$\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.$ 

Вывод уравнения непрерывностиПравить

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$\Psi$  - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных $x$$x$ , $y$$y$ , и $z$$z$ ). Тогда

$P=\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{|}^{2}dV$$P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV$ 

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде

$\frac{dP}{dt}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{|}^{2}dV=\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}+\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)dV$${\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV$ 

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма $V$$V$  не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

$i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}+V\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$ 

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$\Psi$ :

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{i}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}V\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\Psi$ 

Результат подстановки в предыдущее уравнение для $\frac{dP}{dt}$${\frac {dP}{dt}}$  даёт

$\frac{dP}{dt}=-<!--\; -\; -->\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2mi}\left({\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\right)dV$${\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV$ .

Теперь после перехода к дивергенции

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left({\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\right)=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}+{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}}^2{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)={\vec \nabla }\Psi ^{*}\cdot {\vec \nabla }\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec \nabla }\Psi \cdot {\vec \nabla }\Psi ^{*}-\Psi {\vec \nabla }^{2}\Psi ^{*}$ 

и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:

$\frac{dP}{dt}=-<!--\; -\; -->\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2mi}\left({\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\right)dV$${\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec \nabla }\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)dV$ 

Если теперь вспомним выражение для $P$$P$  и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$$\vec j$  тогда запишем выражение

$\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{|}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}\right)dV=0$$\int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}\right)dV=0$ 

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов $V$$V$ , и интеграл можно опустить:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}{|}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}=0.$${\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0.$