Квантовая томография

Квантовая томография — часть квантовой информатики. Квантовая томография занимается восстановлением амплитуд квантового состояния по результатам его многократных измерений, и нахождением оптимальных схем таких измерений. Если ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{N-<!--\; -\; -->1}$$\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N-1}$ — набор комплексных чисел, сумма квадратов модулей которых равна 1, то по ним однозначно можно построить квантовое состояние вида

$|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{j=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j|j⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi \rangle =\sum \limits _{j=0}^{N-1}\lambda _{j}|j\rangle$

Томография решает обратную задачу: по данному состоянию $|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi \rangle$ восстановить всё ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j$$\lambda _{j}$. Для этого необходимо производить измерение состояния $|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi \rangle$ в разных базисах, то есть для каждого нового измерения необходимо иметь новое, свежеприготовленное состояние $|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi \rangle$. Имея только один экземпляр состояния $|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi \rangle$, нельзя определить его амплитуды ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j$$\lambda _{j}$ со сколько-нибудь приемлемой точностью. Это следует из оценки на объём классической информации, которую можно извлечь из квантового состояния, а также из следующей теоремы.

Теорема о запрете клонирования квантовых состоянийПравить

Основная статья: Теорема о запрете клонирования

Не существует унитарного оператора, способного перевести состояние $|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{0}⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi \rangle |{\bar {0}}\rangle$  в состояние $|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi \rangle |\Psi \rangle$ .

Подбор базиса измеренияПравить

Если измерять многократно состояние $|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi \rangle$  в стандартном базисе $|0⟩<!--\; ⟩\; -->,|1⟩<!--\; ⟩\; -->,\dots <!--\; \dots \; -->$$|0\rangle ,|1\rangle ,\ldots$ , можно получить значения модулей амплитуд со сколь угодно высокой точностью, в силу правила Борна. Для получения фаз амплитуд необходимо измерять не в стандартном базисе, а в базисе, полученном, например, однокубитовыми преобразованиями (так называемые измерения в незапутанном базисе). Измерения в базисах, состоящих из запутанных состояний, способны дать больший эффект, но их трудно реализовать.

История терминаПравить

Томография (томо — сечение) представляет собой восстановление определённого состояния по его сечениям. В квантовой механике состояние представляет собой вектор $|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi \rangle$  в гильбертовом пространстве многочастичных квантовых состояний, а сечение — его проекция на одну из координатных осей, называемая измерением. Процесс воссоздания амплитуд формулируется на алгебраическом языке; его можно уподобить обратному преобразованию Радона в обычной компьютерной томографии.