Калибровочная теория гравитации

Калибровочная теория гравитации — это подход к объединению гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями, успешно описываемыми в рамках калибровочной теории.

ИсторияПравить

Первая калибровочная модель гравитации была предложена Р. Утиямой в 1956 г., два года спустя после рождения самой калибровочной теории. Однако первоначальные попытки построить калибровочную теорию гравитации по аналогии с калибровочной теорией Янга — Миллса внутренних симметрий столкнулись с проблемой описания общих ковариантных преобразований и псевдоримановой метрики (тетрадного поля) в рамках такой калибровочной модели.

Чтобы решить эту проблему, было предложено представить тетрадное поле как калибровочное поле группы трансляций. При этом генераторы общих ковариантных преобразований рассматривались как генераторы калибровочной группы трансляций и тетрадное поле (поле кореперов) отождествлялось с трансляционной частью аффинной связности на пространственно-временном многообразии $X$$X$ . Любая такая связность является суммой $K=\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}+\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$K=\Gamma + \Theta$  общей линейной связности $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  на $X$$X$  и припаивающей формы $\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}={\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{a}d{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_a$$\Theta= \Theta_\mu^a dx^\mu\otimes\vartheta_a$ , где ${\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_a={\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_a^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$\vartheta_a=\vartheta_a^\lambda\partial_\lambda$  — неголономный репер.

Существуют различные физические интерпретации трансляционной части $\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$\Theta$  аффинной связности. В калибровочной теории дислокаций поле $\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$\Theta$  описывает дисторсию. В другой трактовке, если линейный репер ${\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_a$$\vartheta_a$  задан, разложение $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}={\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}^a\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_a$$\theta=\vartheta^a\otimes\vartheta_a$  дает основание ряду авторов рассматривать корепер ${\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}^a$$\vartheta^a$  именно как калибровочное поле трансляций.

Общие ковариантные преобразованияПравить

Трудность построения калибровочной теории гравитации по аналогии с теорией Янга — Миллса вызвана тем, что калибровочные преобразования этих двух теорий принадлежат разным классам. В случае внутренних симметрий калибровочными преобразованиями являются вертикальные автоморфизмы главного расслоения $P\to <!--\; \to \; -->X$$P\to X$ , оставляющие неподвижной его базу $X$$X$ . В то же время теория гравитации строится на главном расслоении $FX$$FX$  касательных реперов к $X$$X$ . Оно принадлежит категории натуральных расслоений $T\to <!--\; \to \; -->X$$T\to X$ , для которых диффеоморфизмы базы $X$$X$  канонически продолжаются до автоморфизмов $T$$T$ . Эти автоморфизмы называются общими ковариантными преобразованиями. Общих ковариантных преобразований достаточно, чтобы сформулировать и общую теорию относительности, и аффинно-метрическую теорию гравитации как калибровочную теорию.

В калибровочной теории на натуральных расслоениях калибровочными полями являются линейные связности на пространственно-временном многообразии $X$$X$ , определяемые как связности на главном реперном расслоении $FX$$FX$ , а метрическое (тетрадное) поле играет роль хиггсовского поля, отвечающего за спонтанное нарушение общих ковариантных преобразований.

Псевдориманова метрика и хиггсовские поляПравить

См. также: Механизм Хиггса

Спонтанное нарушение симметрий является квантовым эффектом, когда вакуум не инвариантен относительно некоторой группы преобразований. В классической калибровочной теории спонтанное нарушение симметрий происходит, когда структурная группа $G$$G$  главного расслоения $P\to <!--\; \to \; -->X$$P\to X$  редуцирована к своей замкнутой подгруппе $H$$H$ , то есть существует главное подрасслоение расслоения $P$$P$  со структурной группой $H$$H$ . При этом имеет место взаимно однозначное соответствие между редуцированными подрасслоениями $P$$P$  со структурной группой $H$$H$  и глобальными сечениями фактор-расслоения $P/H\to <!--\; \to \; -->X$$P/H\to X$ . Эти сечения описывают классические хиггсовские поля.

Первоначально идея интерпретировать псевдориманову метрику как хиггсовское поле возникла при построении индуцированных представлений общей линейной группы $GL(4,\mathbb{R})$$GL(4,\mathbb R)$  по подгруппе Лоренца. Геометрический принцип эквивалентности, постулирующий существование системы отсчета, в которой сохраняются лоренцевские инварианты, предполагает редукцию структурной группы $GL(4,\mathbb{R})$$GL(4,\mathbb R)$  главного реперного расслоения $FX$$FX$  к группе Лоренца. Тогда само определение псевдоримановой метрики на многообразии $X$$X$  как глобального сечения фактор-расслоения $FX/O(1,3)\to <!--\; \to \; -->X$$FX/O(1,3)\to X$  ведет к её физической интерпретации как хиггсовского поля.

См. такжеПравить

• Тетрадная теория гравитации
• Альтернативные теории гравитации

ЛитератураПравить

• Д. Д. Иваненко, Г. А. Сарданашвили. Гравитация, 4-е изд., — М.: Изд. ЛКИ, 2010.
• I. Kirsch A Higgs mechanism for gravity, — Phys. Rev. D72 (2005) 024001; arXiv: hep-th/0503024.
• Yu. Obukhov Poincare gauge gravity: selected topics, — Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3 (2006) 95-138; arXiv: gr-qc/0601090.
• G. Sardanashvily Classical gauge gravitation theory, — Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 8 (2011) 1869—1895; arXiv: 1110.1176.