Фильтр с конечной импульсной характеристикой

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (Нерекурсивный фильтр, КИХ-фильтр) или FIR-фильтр (FIR сокр. от finite impulse response — конечная импульсная характеристика) — один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра — константа.

Динамические характеристикиПравить

Разностное уравнение, описывающее связь между входным и выходным сигналами фильтра:

$y\left(n\right)=b_{0}x\left(n\right)+b_{1}x\left(n-<!--\; -\; -->1\right)+...+b_{P}x\left(n-<!--\; -\; -->P\right)$$y\left(n\right)=b_{0}x\left(n\right)+b_{1}x\left(n-1\right)+...+b_{P}x\left(n-P\right)$ 

где $P$$P$  — порядок фильтра, $x(n)$$x(n)$  — входной сигнал, $y(n)$$y(n)$  — выходной сигнал, а $b_i$$b_{{i}}$  — коэффициенты фильтра.

Иными словами, значение любого отсчета выходного сигнала определяется суммой масштабированных значений $P$$P$  предыдущих отсчетов в силу свойства линейности. Можно сказать иначе: значение выхода фильтра в любой момент времени есть значение отклика на мгновенное значение входа и сумма всех постепенно затухающих откликов $P$$P$  предыдущих отсчетов сигнала, которые всё ещё оказывают влияние на выход (после $P$$P$  отсчетов импульсная переходная функция становится равной нулю, поэтому все члены после $P$$P$ -го тоже станут равными нулю). Запишем предыдущее уравнение в более ёмком виде:

$y\left(n\right)=\underset{i=0}{\overset{P}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_{i}x\left(n-<!--\; -\; -->i\right)$$y\left(n\right)=\sum _{{i=0}}^{{P}}b_{i}x\left(n-i\right)$ 

Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим

$x(n)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(n)$$x(n)=\delta (n)$ 

где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(n)$$\delta (n)$  — дельта-функция. Тогда импульсная характеристика КИХ-фильтра может быть записана как:

$h\left(n\right)=\underset{i=0}{\overset{P}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(n-<!--\; -\; -->i\right)$$h\left(n\right)=\sum _{{i=0}}^{{P}}b_{i}\delta \left(n-i\right)$ 

Z-преобразование импульсной характеристики даёт нам передаточную функцию КИХ-фильтра:

$H\left(z\right)=\underset{i=0}{\overset{P}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i{z}^{-<!--\; -\; -->i}$$H\left(z\right)=\sum _{{i=0}}^{{P}}b_{i}z^{{-i}}$ 

СвойстваПравить

КИХ-фильтр обладает рядом полезных свойств, из-за которых он иногда более предпочтителен в использовании, чем БИХ-фильтр. Вот некоторые из них:

• КИХ-фильтры устойчивы.
• КИХ-фильтры при реализации не требуют наличия обратной связи.
• Фаза КИХ-фильтров может быть сделана линейной

Прямая форма КИХ-фильтраПравить

КИХ-фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов: умножитель, сумматор и блок задержки. Вариант, показанный на рисунке, есть прямая реализация КИХ-фильтров типа 1.

 

Реализация прямой формы КИХ-фильтра

См. такжеПравить

• Электронный фильтр
• Цифровой фильтр
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой
• Z-преобразование
• Скользящая средняя (фильтр)
• Фильтр Линквица — Райли

СсылкиПравить

• Расчет КИХ фильтра с линейной фазочастотной характеристикой методом частотной выборки
• FIR FAQ