Скользящая средняя (фильтр)

Скользя́щая сре́дняя, скользя́щее сре́днее — разновидность цифрового фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ) либо фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) (в случае экспоненциальной скользящей средней), используется для обработки сигналов и изображений, в системах автоматического управления и для других прикладных целей.

Блок-схема простого КИХ-фильтра второго порядка, реализующего скользящее среднее

Динамические характеристикиПравить

Разностное уравнение, которое характеризует фильтр скользящего среднего, является уравнением КИХ-фильтра.

Пусть $x_n$$x_{n}$  — входной сигнал фильтра, $y_n$$y_{n}$  — выходной сигнал, $P$$P$  — порядок фильтра, $b_i$$b_{i}$  — весовые коэффициенты отсчётов. Тогда разностное уравнение будет иметь вид:

$y_n=\underset{i=0}{\overset{P}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i{x}_{n-<!--\; -\; -->i}.$$y_{n}=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x_{n-i}.$ 

Отличительной особенностью фильтра скользящего среднего является равенство единице суммы коэффициентов $b_i$$b_i$ :

$\underset{i=0}{\overset{P}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i=1.$$\sum _{i=0}^{P}b_{i}=1.$ 

Последнее выражение нормировки коэффициентов отличает скользящее среднее от других КИХ-фильтров. В частности, для простого скользящего среднего весовые коэффициенты отсчётов имеют следующий вид:

$b_i=\frac{1}{P+1}$$b_{i}={\frac {1}{P+1}}$  для $i=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,P$$i=0,1,\dots ,P$ 

Импульсная характеристика и z-преобразованиеПравить

Для того, чтобы найти импульсную переходную функцию фильтра скользящего среднего дискретные отсчёты заменяются дельта-функцией $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(n)$$\delta (n)$ :

$x_n=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(n).$$x_{n}=\delta (n).$ 

Тогда импульсная характеристика такого фильтра может быть записана как:

$h(n)=\underset{i=0}{\overset{P}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(n-<!--\; -\; -->i).$$h(n)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}\delta (n-i).$ 

Z-преобразование импульсной характеристики даёт передаточную функцию:

$H(z)=\underset{i=0}{\overset{P}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i{z}^{-<!--\; -\; -->i}.$$H(z)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}.$ 

См. такжеПравить

• Среднее арифметическое взвешенное

ЛитератураПравить

• Стивен Смит. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing.