Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения, рассчитанная на основе данных выборки. Виды выборочных дисперсий:

• смещённая;
• несмещённая, или исправленная

ОпределенияПравить

Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n,\dots <!--\; \dots \; -->$$X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$  — выборка из распределения вероятности. Тогда

• выборочная дисперсия — это случайная величина

$S_n^2=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(X_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}\right)}^2=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i^2-<!--\; -\; -->{\left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i\right)}^2$$S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\right)^{2}$ ,

где символ $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}$${\bar {X}}$  обозначает выборочное среднее;

• несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

$S^2=\frac{1}{n-<!--\; -\; -->1}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(X_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}\right)}^2$$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}$ .

ЗамечаниеПравить

Очевидно,

$S^2=\frac{n}{n-<!--\; -\; -->1}{S}_n^2$$S^{2}={\frac {n}{n-1}}S_{n}^{2}$ .

Свойства выборочных дисперсийПравить

• Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}(x)$${\hat {F}}(x)$  — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\omega \in \Omega$  функция $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},x)$${\hat {F}}(\omega ,x)$  является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна $S_n^2(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$S_{n}^{2}(\omega )$ .

• Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если ${\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty$ , то

$S_n^2{\to <!--\; \to \; -->}^{\mathbb{P}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$$S_{n}^{2}\to ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}\;\sigma ^{2}$ 

и

$S^2{\to <!--\; \to \; -->}^{\mathbb{P}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$$S^{2}\to ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}\;\sigma ^{2}$ ,

где символ «${\to <!--\; \to \; -->}^{\mathbb{P}}$$\to ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}$ » обозначает сходимость по вероятности.

• Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия — несмещённой:

$\mathbb{E}\left[S_n^2\right]=\frac{n-<!--\; -\; -->1}{n}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$${\mathbb {E}}\left[S_{n}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}$ ,

и

$\mathbb{E}\left[S^2\right]={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$${\mathbb {E}}\left[S^{2}\right]=\sigma ^{2}$ .

• Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат. Пусть $X_i\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{N}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2),i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$X_{i}\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,2,\ldots$ . Тогда

$(n-<!--\; -\; -->1)\frac{S^2}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\equiv <!--\; \equiv \; -->n\frac{S_n^2}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\sim <!--\; \sim \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\equiv n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}(n-1)$ .

См. такжеПравить

• Дисперсия случайной величины
• Выборочное среднее
• Несмещённая оценка
• Дисперсия Аллана
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки