Дисперсия Аллана

Дисперсия Аллана (англ. Allan variance, AVAR), названная в честь Дэвида В. Аллана дисперсия, основанная на двойной выборке. Является мерой стабильности частоты различных устройств, в особенности часов и генераторов. Она также известна как квадрат СКДО (среднее квадратическое относительное двухвыборочное отклонение) частоты. Отклонение Аллана так же известно как сигма-тау (sigma-tau) и равно квадратному корню из дисперсии Аллана.

Дисперсия Аллана предназначена для оценки стабильности, обусловленной шумовыми процессами, а не систематическими ошибками или несовершенствами, такими как дрейф частоты или температурные эффекты.

N-выборочная дисперсия является мерой стабильности частоты с помощью N выборок, времени Т между измерениями и времени наблюдения $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$.

К определению $N$$N$-точечной дисперсии

N-точечная дисперсия вводится следующим образом:

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2(N,T,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\frac{1}{N-<!--\; -\; -->1}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_i-<!--\; -\; -->\frac{1}{N}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_j\right),$$\sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )={\frac {1}{N-1}}\sum \limits _{i=1}^{N}\left({\bar {y}}_{i}-{\frac {1}{N}}\sum \limits _{j=1}^{N}{\bar {y}}_{j}\right),$

где ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_i$${\bar {y}}_{i}$ — среднее значение измеряемой величины во время $i$$i$-го измерения.

Дисперсия Аллана определяется как выборочная дисперсия при $N=2,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=T$$N=2,\tau =T$:

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y^2(2,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=⟨\frac{({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_{n+1}-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_n{)}^2}{2}⟩,$$\sigma _{y}^{2}(\tau )=\sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )=\left\langle {\frac {({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n})^{2}}{2}}\right\rangle ,$

где под $⟨<!--\; ⟨\; -->...⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle ...\rangle$ понимается усреднение в бесконечных пределах, ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_n$$\overline y_{n}$ — n-ное измерение, полученное усреднением выборки длительностью $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$:

${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}_n=\frac{1}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\underset{t_k}{\overset{t_{k+1}}{\int <!--\; \int \; -->}}y(t)dt,t_{k+1}-<!--\; -\; -->t_k=\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$${\bar y}_{n}={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{{t_{k}}}^{{t_{{k+1}}}}y(t)dt,~~~~~t_{{k+1}}-t_{k}=\tau$

ПримечанияПравить

Если случайная величина содержит случайное постоянное смещение, или линейную регрессию, то вклад от таких компонент в Дисперсию Аллана будет равен нулю.

Действительно, если, например, оцениваемая частота линейно нарастает, то приращение частоты на одинаковых интервалах времени будет одним и тем же, разность приращений будет равна нулю. Поэтому было бы ошибочно отождествлять эту характеристику с характеристикой точности стандартов частоты, часов или иных генераторов. Она характеризует лишь стабильность их работы. Работа стандарта частоты будет по этому критерию оценена как стабильная, даже в том случае, если подобный генератор не только "стабильно отклоняется" от требуемого значения частоты генерации, но и в случае, если скорость этого отклонения постоянна.

Подобная характеристика потребовалась в предположении о том, что уход частоты любого генератора за бесконечное время может быть бесконечным. Поэтому потребовалась оценка, являющаяся конечной даже в этом случае.

Разумеется, ни один генератор не может генерировать частоту, уход которой за бесконечное время может принимать бесконечное значение, поскольку в силу физических принципов, заложенных в его работу, любой генератор может формировать частоту лишь в ограниченном диапазоне.