Инъективное метрическое пространство

Инъективное метрическое пространство — метрическое пространство, обладающее определёнными свойствами; такими пространствами являются вещественная прямая, все метрические деревья, $L^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$L^{\infty }$ и другие.

ОпределениеПравить

Полное геодезическое метрическое пространство $X$$X$  называется инъективным (или гипервыпуклым), если произвольное семейство шаров в $X$$X$  имеет общую точку, если любые два шара в этом семействе пересекаются.

Связанные определенияПравить

• Пространство $X$$X$  называется $n$$n$ -гипервыпуклым если любое семейство из $n$$n$  закнутых шаров $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}[x_i,r_i]$${\bar {B}}[x_{i},r_{i}]$  таких, что $r_i+r_j\ge <!--\; \ge \; -->|x_i-<!--\; -\; -->x_j{|}_X$$r_{i}+r_{j}\geq |x_{i}-x_{j}|_{X}$  имеет общую точку.
  • $2$$2$ -гипервыпуклое пространство также называется выпуклым.
• Пространство $X$$X$  называется конечно или счётно гипервыпуклым если тоже условие выполняется для любого конечного (соответсвенно счётного) семейства шаров.

ПримерыПравить

• Вещественная прямая, а также любой замкнутый интервал инъективвен.
• Пространство ограниченных функций на любом пространстве с sup-нормой инъективно.
• Любое метрическое дерево инъективно.
• Пространство ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^1$$\ell ^{1}$  является 3-гипервыпуклым, но не 4-гипервыпуклым.
• Пространство Урысона $\mathbb{U}$$\mathbb {U}$  является конечно гипервыпуклым, но не счётно гипервыпуклым.

СвойстваПравить

• В инъективном пространстве радиус любого множества равен половине его диаметра.
  • Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют самой сильной форме теоремы Юнга.
• Инъективное пространство является полным.
• Любое короткое отображение инъективного пространства конечного диаметра в себя фиксирует точку.
• Метрическое пространство является инъективным тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и коротких отображений по отношению к экстремальным мономорфизмам.
  • Иначе говоря, пространство $X$$X$  является инъективным, если для любого короткого отображения $f:<!--\; :\; -->A\to <!--\; \to \; -->X$$f\colon A\to X$  и изометрического вложения $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:<!--\; :\; -->A\to <!--\; \to \; -->B$$\phi \colon A\to B$  существует короткое отображение $g:<!--\; :\; -->B\to <!--\; \to \; -->X$$g\colon B\to X$  такое, что $f=g\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$f=g\circ \phi$ .
• Любое метрическое пространство вкладывается в так называемую инъективную оболочку — минимальное инъективное пространство, содержащее исходное. (Инъективная оболочка аналогична выпуклой оболочке.)
  • Инъективная оболочка данного метрического пространства определяется однозначно с точностью до изометрии, коммутирующей с вложением.
• Конечно гипервыпуклое ограниченно компактное пространство инъетивно.
• Полное 4-гипервыпуклое пространство конечно гипервыпукло.

См. такжеПравить

• Категория метрических пространств

СсылкиПравить

• Isbell, J. R. Six theorems about injective metric spaces (англ.) // Commentarii Mathematici Helvetici  (англ.) (рус. : journal. — 1964. — Vol. 39. — P. 65—76. — doi:10.1007/BF02566944.