Мономорфизм

Мономорфи́зм ― морфизм $m:A\to <!--\; \to \; -->B$$m:A\to B$ категории $\mathcal{C}$${\mathcal C}$, такой что из всякого равенства $m\circ <!--\; \circ \; -->f=m\circ <!--\; \circ \; -->h$$m\circ f=m\circ h$ следует, что $f=h$$f=h$ (другими словами, на $m$$m$ можно сокращать слева). Часто мономорфизм из $X$$X$ в $Y$$Y$ обозначают $X\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->Y$$X\hookrightarrow Y$.

Двойственным к понятию мономорфизм является понятие эпиморфизма. (При этом чтобы морфизм был изоморфизмом, в общем случае недостаточно биморфности — одновременной мономорфности и эпиморфности.)

Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия инъективной функции. Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.

Связь с обратимостьюПравить

Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если $l$$l$  — левый обратный к $f$$f$  (то есть $l\circ <!--\; \circ \; -->f={\mathrm{id}}_X$$l\circ f=\operatorname {id}_{{X}}$ ), то:

$f\circ <!--\; \circ \; -->g_1=f\circ <!--\; \circ \; -->g_2\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->lf{g}_1=lf{g}_2\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->g_1=g_2$$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}$ .

В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории групп $\mathbf{G}\mathbf{r}\mathbf{p}$${\mathbf {Grp}}$ , если $H$$H$  является подгруппой $G$$G$ , то вложение $f:H\to <!--\; \to \; -->G$$f:H\to G$  — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм $f:H\to <!--\; \to \; -->G$$f:H\to G$  существует, только если у $H$$H$  есть нормальная дополнительная группа (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение $f_{\ast <!--\; \ast \; -->}:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Z,X)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Z,Y)$$f_{{*}}:{\mathrm {Hom}}(Z,X)\to {\mathrm {Hom}}(Z,Y)$ , определённое как $f_{\ast <!--\; \ast \; -->}h=f\circ <!--\; \circ \; -->h$$f_{{*}}h=f\circ h$  для морфизмов $h:Z\to <!--\; \to \; -->X$$h:Z\to X$ , инъективно для всех Z.

Связь с инъективностьюПравить

Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в конкретных категориях. В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В категории множеств верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъективным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию свободного объекта, порожденного одним элементом. Например, это верно в любой абелевой категории.

Однако это верно не всегда. Например, в категории $\mathbf{D}\mathbf{i}\mathbf{v}$$\mathbf {Div}$  делимых (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации $q:\mathbb{Q}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$$q:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ .

Типы мономорфизмовПравить

Мономорфизм называется регулярным, если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.

Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм, иными словами, если экстремальный мономорфизм представлен в виде $g\circ <!--\; \circ \; -->e$$g\circ e$  с эпиморфизмом $e$$e$ , то $e$$e$  — изоморфизм.

ТерминологияПравить

Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться Бурбаки, причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. Маклейн попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и англ. monic maps — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.

ЛитератураПравить

• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.