Инъективная оболочка

Инъективная оболочка — конструкция в метрической геометрии, дающая наименьшее инъективное метрическое пространство, включающее данное метрическое пространство. Эта конструкция во многом аналогична конструкции выпуклой оболочки для множеств в евклидовом пространстве.

Инъективная оболочка множества точек на плоскости с метрикой городских кварталов.

Инъективная оболочка была впервые описана Джоном Исбелом в 1964 году. Позже была переоткрыта несколько раз.

ПостроениеПравить

На данном метрическом пространстве $M$$M$  рассматриваются все функции $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon M\to \mathbb {R}$  такие, что

$f(x)+f(y)⩾<!--\; ⩾\; -->|x-<!--\; -\; -->y{|}_M⩾<!--\; ⩾\; -->|f(x)-<!--\; -\; -->f(y)|$$f(x)+f(y)\geqslant |x-y|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|$  для любых $x,y\in <!--\; \in \; -->M$$x,y\in M$ ,

для любого $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$  существует $y\in <!--\; \in \; -->M$$y\in M$  такое, что $f(x)+f(y)-<!--\; -\; -->|x-<!--\; -\; -->y{|}_M$$f(x)+f(y)-|x-y|_{M}$  произвольно мало.

Далее множество этих функций снабжается метрикой

$|f-<!--\; -\; -->h|=\underset{x\in <!--\; \in \; -->M}{sup}|f(x)-<!--\; -\; -->h(x){|}_M.$$|f-h|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.$ 

Полученное метрическое пространство $W$$W$  называется инъективной оболочкой $M$$M$ .

ЗамечанияПравить

• Пространство $M$$M$  можно рассматривать как подпространство $W$$W$ ; необходимое отображение $M\to <!--\; \to \; -->W$$M\to W$  получается сопоставлением каждой точке $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$  её дистанционной функции $z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->|x-<!--\; -\; -->z{|}_M$$z\mapsto |x-z|_{M}$ .

СвойстваПравить

• Инъективная оболочка является инъективным пространством.

• Инъективная оболочка компактного пространства компактна.
  • В частности, любое компактное пространство является подпространством компактного пространства с внутренней метрикой.

• Пусть $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}$${\hat {X}}$  и $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Y}$${\hat {Y}}$  — инъективные оболочки компактных метрических пространств $X$$X$  и $Y$$Y$ . Тогда

  $d_{GH}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Y})\le <!--\; \le \; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->d_{GH}(X,Y),$$d_{GH}({\hat {X}},{\hat {Y}})\leq 2\cdot d_{GH}(X,Y),$ 

где $d_{GH}$$d_{GH}$  обозначает метрику Громова — Хаусдорфа.

• Константа 2 в этом неравенстве является оптимальной.

• Инъективная оболочка банахова пространства является банаховым пространством.