Формула Валлиса

Фо́рмула Ва́ллиса (также произве́дение Ва́ллиса) — формула, выражающая число $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ через бесконечное произведение рациональных дробей:

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\\end{aligned}}$

ИсторияПравить

В 1655 году Джон Валлис предложил формулу для определения числа $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ :

$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\frac{(2n{)}^2}{(2n-<!--\; -\; -->1)(2n+1)}=\frac{2}{1}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{4}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{4}{5}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{6}{5}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{6}{7}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{8}{7}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{8}{9}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{10}{9}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{10}{11}\cdot <!--\; \cdot \; -->\dots <!--\; \dots \; -->$${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots$ 

Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Исторически формула Валлиса имела значение как один из первых примеров бесконечных произведений.

ДоказательствоПравить

Используется бесконечное произведение Эйлера для функции синуса:

$\frac{\sin <!--\; \; -->x}{x}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{n^2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}\right).$${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).$ 

Пусть $x=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$x=\pi /2$ , тогда

$\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{1}{4n^2}\right),$${\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right),$ 

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)=\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots \end{aligned}}$ 

ПрименениеПравить

Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  формула Валлиса мало пригодна. Однако она полезна в различных теоретических исследованиях, например при выводе формулы Стирлинга. Тем не менее, если в этой формуле слегка откорректировать концовку:

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\left[\underset{n=1}{\overset{m-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\frac{(2n{)}^2}{(2n-<!--\; -\; -->1)(2n+1)}\right]\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\frac{2m}{2m-<!--\; -\; -->1}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{2m}{2m+1}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{4}+1\right)+\frac{3}{4}\right]=\frac{2}{1}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{2}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{4}{3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{4}{5}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{6}{5}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{6}{7}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\frac{8}{7}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{8}{9}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{4}+1\right)+\frac{3}{4}\right],$$\pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}\right]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right],$ 

то скорость сходимости возрастёт примерно на пять порядков.

СсылкиПравить

• Формула Валлиса
• Вывод формулы Валлиса