Интеграл Лебега

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Сверху интегрирование по Риману, снизу — по Лебегу

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

ОпределениеПравить

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\mathcal{F},\mu)$ , и на нём определена измеримая функция $f:<!--\; :\; -->(X,\mathcal{F})\to <!--\; \to \; -->(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$$f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ , где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$  — борелевская $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ -алгебра на вещественной оси.

Определение 1. Пусть $f$$f$  — индикатор некоторого измеримого множества, то есть $f(x)={\mathbf{1}}_A(x)$$f(x)={\mathbf {1}}_{A}(x)$ , где $A\in <!--\; \in \; -->\mathcal{F}$$A\in {\mathcal {F}}$ . Тогда интеграл Лебега функции $f$$f$  по определению:

$\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)\equiv <!--\; \equiv \; -->\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}fd\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A).$$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).$ 

Определение 2. Пусть $f$$f$  — простая функция, то есть $f(x)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_i{\mathbf{1}}_{F_i}(x)$$f(x)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}f_{i}\,{\mathbf {1}}_{{F_{i}}}(x)$ , где $\{f_i{\}}_{i=1}^n\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$\{f_{i}\}_{{i=1}}^{n}\subset {\mathbb {R}}$ , а $\{F_i{\}}_{i=1}^n\subset <!--\; \subset \; -->\mathcal{F}$$\{F_{i}\}_{{i=1}}^{n}\subset {\mathcal {F}}$  — конечное разбиение $X$$X$  на измеримые множества. Тогда

$\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_i\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(F_i)$$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})$ .

Определение 3. Пусть теперь $f$$f$  — неотрицательная функция, то есть $f(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X$$f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X$ . Рассмотрим все простые функции $\{f_s\}$$\{f_{s}\}$ , такие что $f_s(x)⩽<!--\; ⩽\; -->f(x)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X$$f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X$ . Обозначим это семейство ${\mathcal{P}}_f$${\mathcal {P}}_{f}$ . Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от $f$$f$  задаётся формулой:

$\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)=sup\left\{\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}{f}_s(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)|f_s\in <!--\; \in \; -->{\mathcal{P}}_f\right\}$$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}$ 

Наконец, если функция $f$$f$  произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

$f(x)=f^{+}(x)-<!--\; -\; -->f^{-<!--\; -\; -->}(x),$$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$ 

где

$f^{+}(x)=max(f(x),0),f^{-<!--\; -\; -->}(x)=-<!--\; -\; -->min(0,f(x))$$f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))$ .

Определение 4. Пусть $f$$f$  — произвольная измеримая функция. Тогда её интеграл задаётся формулой:

$\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)=\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}{f}^{+}(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)-<!--\; -\; -->\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}{f}^{-<!--\; -\; -->}(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)$$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)$ .

Определение 5. Пусть наконец $A\in <!--\; \in \; -->\mathcal{F}$$A\in {\mathcal {F}}$  произвольное измеримое множество. Тогда по определению

$\underset{A}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)=\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x){\mathbf{1}}_A(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)$$\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,{\mathbf {1}}_{A}(x)\,\mu (dx)$ ,

где ${\mathbf{1}}_A(x)$${\mathbf {1}}_{A}(x)$  — индикатор-функция множества $A$$A$ .

ПримерПравить

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{{\mathbb{Q}}_{[0,1]}}(x)$$f(x)\equiv \chi _{{{\mathbb {Q}}_{{[0,1]}}}}(x)$ , заданную на $([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m)$$([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$ , где $\mathcal{B}([0,1])$${\mathcal {B}}([0,1])$  — борелевская σ-алгебра на $[0,1]$$[0,1]$ , а $m$$m$  — мера Лебега. Эта функция принимает значение $1$$1$  в рациональных точках и $0$$0$  в иррациональных. Легко увидеть, что $f$$f$  не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

$\underset{[0,1]}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)m(dx)=1\cdot <!--\; \cdot \; -->m({\mathbb{Q}}_{[0,1]})+0\cdot <!--\; \cdot \; -->m([0,1]\setminus <!--\; \setminus \; -->{\mathbb{Q}}_{[0,1]})=1\cdot <!--\; \cdot \; -->0+0\cdot <!--\; \cdot \; -->1=0.$$\int \limits _{{[0,1]}}f(x)\,m(dx)=1\cdot m({\mathbb {Q}}_{{[0,1]}})+0\cdot m([0,1]\setminus {\mathbb {Q}}_{{[0,1]}})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$ 

Действительно, мера отрезка $[0,1]$$[0,1]$  равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна $1-<!--\; -\; -->0=1$$1-0=1$ .

ЗамечанияПравить

• Так как $|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-<!--\; -\; -->}(x)$$|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$ , измеримая функция $f(x)$$f(x)$  интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $|f(x)|$$|f(x)|$  интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
• В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
• Если функция определена на вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$  и измерима, то она называется случайной величиной, а её интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

СвойстваПравить

• Интеграл Лебега линеен, то есть

  $\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}[af(x)+bg(x)]\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)=a\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)+b\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}g(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)$$\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ,

где $a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$a,b\in \mathbb{R}$  — произвольные константы;

• Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если $0⩽<!--\; ⩽\; -->f(x)⩽<!--\; ⩽\; -->g(x)$$0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$  почти всюду, $f(x)$$f(x)$  измерима и $g(x)$$g(x)$  интегрируема, то интегрируема и $f(x)$$f(x)$ , и более того

  $0⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}g(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)$$0\leqslant \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leqslant \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ;

• Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если $f(x)=g(x)$$f(x)=g(x)$  почти всюду, то

  $\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)=\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}g(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)$$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ .

Интегральные суммы ЛебегаПравить

Интегральными суммами Лебега для функции $f(x)$$f(x)$  и меры $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  называются суммы вида

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$ ,

где $y_{1}<y_{2}<\dots <y_{N}$  — разбиение области значений функции $f(x)$$f(x)$ .

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию $f(x)$$f(x)$  - в каждой точке она принимает одно из значений $y_1,y_2,\dots <!--\; \dots \; -->,y_N$$y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}$  (а именно, $y_k$$y_{k}$  на подмножестве $\{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$ ). Поэтому, если функция $f(x)$$f(x)$  интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда $y_1\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$y_{1}\rightarrow -\infty$ , $y_N\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$y_{N}\rightarrow +\infty$ , и диаметр разбиения $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=max\{y_2-<!--\; -\; -->y_1,\dots <!--\; \dots \; -->,y_N-<!--\; -\; -->y_{N-<!--\; -\; -->1}\}$$\delta =\max\{y_{2}-y_{1},\dots ,y_{N}-y_{N-1}\}$  стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:

$F(y)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\{x\in <!--\; \in \; -->X:f(x)⩽<!--\; ⩽\; -->y\}$$F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\}$ 

Тогда интегральные суммы Лебега для функции $f(x)$$f(x)$  и меры $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции $y$$y$  и функции распределения $F(y)$$F(y)$ :

$S=\underset{k=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_k(F(y_{k+1})-<!--\; -\; -->F(y_k))\to <!--\; \to \; -->\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}ydF(y)$$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }ydF(y)$ .

Если функция распределения $F(y)$$F(y)$  имеет плотность: $dF(y)=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(y)dy$$dF(y)=\rho (y)dy$ , то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана:

$S=\underset{k=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{y}_k\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(y_k)(y_{k+1}-<!--\; -\; -->y_k)\to <!--\; \to \; -->\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}y\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(y)dy$$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy$ .

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функцийПравить

• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

ЛитератураПравить

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е. — М.: ГУПИМПР, 1961. — 173 с.