Теорема Леви о монотонной сходимости

Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо́ Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега, теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Различные формулировки из функционального анализаПравить

Далее $L_1(X,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$L_{1}(X,\mu )$  обозначает пространство интегрируемых функций на пространстве с мерой $(X,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\mu )$ . Мера не предполагается конечной. Для всех интегралов далее областью интегрирования является всё пространство $X$$X$ .

Теорема Леви (о монотонном пределе интегрируемых функций). Пусть $f_n\in <!--\; \in \; -->L_1(X,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$f_{n}\in L_{1}(X,\mu )$  — монотонно неубывающая последовательность функций, интегрируемых на $X$$X$ , то есть

$f_n(x)⩽<!--\; ⩽\; -->f_{n+1}(x)$$f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x)$  для всех $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in {\mathbb {N}}$  и $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ .

Если их интегралы ограничены в совокупности:

$\int <!--\; \int \; -->f_n(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->K$$\int f_{n}(x)d\mu \leqslant K$ ,

Тогда:

1. почти всюду существует конечный предел $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{f}_n(x):=f(x)$$\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x):=f(x)$  (то есть функции $f_n(x)$$f_{n}(x)$  сходятся поточечно к некоторой функции $f(x)$$f(x)$  почти всюду на $X$$X$ );
2. предельная функция $f(x)$$f(x)$  интегрируема на $X$$X$ , то есть $f\in <!--\; \in \; -->L_1(X,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$f\in L_{1}(X,\mu )$ ;
3. функции $f_n(x)$$f_{n}(x)$  сходятся к функции $f(x)$$f(x)$  в среднем, то есть по норме пространства $L_1(X,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$L_{1}(X,\mu )$ ;
4. допустим предельный переход под знаком интеграла:

$\int <!--\; \int \; -->f(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\int <!--\; \int \; -->f_n(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\int f(x)d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}(x)d\mu$ .

Другая форма теоремы Леви относится к почленному интегрированию неотрицательных рядов:

Теорема Леви (о почленном интегрировании неотрицательных рядов). Пусть ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n\in <!--\; \in \; -->L_1(X,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$  — неотрицательные функции, интегрируемые на $X$$X$ . Если ограничены в совокупности интегралы от частичных сумм ряда

$\int <!--\; \int \; -->\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->C$$\int \sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)d\mu \leqslant C$ ,

тогда

1. ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)$$\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$  сходится почти всюду к конечному значению;
2. сумма ряда $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)$$\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$  является интегрируемой функцией;
3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства $L_1(X,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$L_{1}(X,\mu )$ ;
4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:

$\int <!--\; \int \; -->\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{k}(x)d\mu$ .

Первая и вторая форма теоремы переходят одна в другую при замене $f_n(x)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)$$f_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)$ , или ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x)=f_n(x)-<!--\; -\; -->f_{n-<!--\; -\; -->1}(x)$$\varphi _{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$ . Однако вторая форма допускает следующее расширение на интегрирование функциональных рядов, не обязательно знакопостоянных:

Теорема Леви (о почленном интегрировании функциональных рядов). Пусть ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n\in <!--\; \in \; -->L_1(X,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$  — функции, интегрируемые на $X$$X$ . Если сходится ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }\int |\varphi _{k}(x)|d\mu <\infty$ ,

тогда

1. ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)$$\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$  абсолютно сходится почти всюду к конечному значению;
2. сумма ряда $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)$$\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$  является интегрируемой функцией;
3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства $L_1(X,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$L_{1}(X,\mu )$ ;
4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:

$\int <!--\; \int \; -->\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{k}(x)d\mu$ .

Чтобы получить теорему Леви в этой форме, нужно применить теорему Лебега о мажорированной сходимости, так как частичные суммы ряда допускают интегрируемую мажоранту:

$\left|\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k(x)|=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\left|\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)\right|\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\varphi _{k}(x)|=\varphi (x)$ 

Формулировка из теории вероятностейПравить

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$  — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

$\mathbb{E}\left[\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{X}_n\right]=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\mathbb{E}{X}_n$${\mathbb {E}}\left[\lim \limits _{{n\to \infty }}X_{n}\right]=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}X_{n}$ .

См. такжеПравить

• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

ЛитератураПравить

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.