Индекс особой точки

Индекс особой точки векторного поля — математическое понятие, относящееся к дифференциальной топологии, дифференциальной геометрии, теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений. Является топологической характеристикой изолированной особой точки векторного поля и определяется как степень гауссова отображения в данной точке.

ОпределениеПравить

Пусть векторное поле $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(x)$$\xi (x)$  задано в окрестности точки $x_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ , являющейся изолированной особой точкой этого поля, то есть $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(x_0)=0$$\xi (x_{0})=0$  и при этом $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(x)\ne <!--\; \ne \; -->0$$\xi (x)\neq 0$  при всех $x\ne <!--\; \ne \; -->x_0$$x\neq x_{0}$  из достаточно малой окрестности точки $x_0$$x_{0}$ . Индексом особой точки $x_0$$x_{0}$  (обозначается ${\mathrm{ind}}_{x_0}<!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\operatorname {ind} _{x_{0}}\xi$ ) называется степень гауссова отображения $(n-<!--\; -\; -->1)$$(n-1)$ -мерной сферы $S_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->1}$$S_{\varepsilon }^{n-1}$  с центром $x_0\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$  достаточно малого радиуса $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ , выбранной так, что поле $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  на ней не обращается в нуль, в сферу $S_1^{n-<!--\; -\; -->1}$$S_{1}^{n-1}$ . Именно, гауссово отображение $f_{x_0}:S_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->S_1^{n-<!--\; -\; -->1}$$f_{x_{0}}:S_{\varepsilon }^{n-1}\to S_{1}^{n-1}$  определено по формуле: $f_{x_0}(x)=\frac{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(x)}{|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(x)|}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->S_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->1}.$$f_{x_{0}}(x)={\frac {\xi (x)}{|\xi (x)|}}\quad \forall \ x\in S_{\varepsilon }^{n-1}.$ 

Свойства и примерыПравить

Особая точка $x_0$$x_{0}$  векторного поля $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(x)$$\xi (x)$  называется невырожденной, если в ней выполнено условие

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=\det <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}{|}_{x=x_0}\right)\ne <!--\; \ne \; -->0.$$\Delta =\operatorname {det} \left({\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}{\Biggr |}_{x=x_{0}}\right)\neq 0.$ 

Невырожденная особая точка всегда является изолированной, и её индекс равен знаку определителя $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ .

Собственные значения ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n$$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$  приведённой выше матрицы (матрицы линейной части поля в данной точке) называются корнями невырожденной особой точки. Для градиентных полей ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$$\xi ^{\alpha }={\tfrac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}$  индекс невырожденный особой точки совпадает со знаком гессиана:

${\mathrm{ind}}_{x_0}<!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->|\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}{|}_{x=x_0}\right)|=(-<!--\; -\; -->1{)}^{i(x_0)}$$\operatorname {ind} _{x_{0}}\xi =\operatorname {sgn} {\Bigg |}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}{\Biggr |}_{x=x_{0}}\right){\Bigg |}=(-1)^{i(x_{0})}$ ,

где $i(x_0)$$i(x_{0})$  — количество отрицательных квадратов в каноническом представлении квадратичной формы $d^{2}f{|}_{x=x_0}$$d^{2}f{\bigr |}_{x=x_{0}}$ .

В двумерном евклидовом пространстве индекс невырожденных особых точек, образующих центр (все корни — мнимые), узел (все корни — вещественные одного знака), фокус (корни комплексно сопряжены) — равен $1$$1$ , для седловых точек (вещественные корни разных знаков) — индекс равен $-<!--\; -\; -->1$$-1$ .

См. такжеПравить

• Индекс критической точки
• Теорема Пуанкаре о векторном поле
• Теорема о причёсывании ежа

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Любое издание.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Глава 3, §14, п 4. Индекс особой точки векторного поля // Современная геометрия. — 4-е изд.. — М.: Едиториал УРСС, 1998. — Т. Том 2. Геометрия и топология многообразий. — С. 90—92. — 280 с. — 1000 экз. экз. — ISBN 5-901006-27-5.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
• М. И. Войцеховский. Особой точки индекс // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия (рус.). — М., 1977—1985.