Формула Серсика

Формула Серсика — эмпирическая формула распределения поверхностной яркости в галактиках. Является более общей, чем формула Вокулера и хорошо описывает различные галактики и отдельные компоненты их структуры.

Вид одномерной функции Серсика при различных $n$$n$ и одинаковых $r_e$$r_e$ и $I_e$$I_{e}$

Формула названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика, который её впервые использовал.

ФормулаПравить

 

Двумерные функции Серсика для нескольких разных $n$$n$ . Для всех моделей $r_e$$r_e$  одинаково (показано как радиус окружности внизу справа), $I_e$$I_{e}$  отличается таким образом, что полная светимость всех моделей одинакова

Формула Серсика (иногда закон Серсика или закон r^1/n) для галактик выражает зависимость между поверхностной яркостью $I$$I$  в точке и её угловым расстоянием до центра галактики $r$$r$ . Формулу можно записать следующим образом:

$\frac{I(r)}{I_e}=\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n\left({\left[\frac{r}{r_e}\right]}^{1/n}-<!--\; -\; -->1\right)\right],$${\frac {I(r)}{I_{e}}}=\exp \left[-\nu _{n}\left(\left[{\frac {r}{r_{e}}}\right]^{1/n}-1\right)\right]\,,$ 

где $I_e$$I_{e}$  — поверхностная яркость на расстоянии $r_e$$r_e$  от центра, которое называется эффективным радиусом, внутри которого излучается половина полной светимости галактики.

Положительная величина $n$$n$  называется индексом Серсика и характеризует общий вид распределения: при небольших $n$$n$  распределение яркости становится более равномерным и более резко обрывается к краю, в то время как при больших $n$$n$  в центре возникает резкий пик яркости, а во внешних частях яркость с удалением от центра убывает медленнее.

Величина ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n$$\nu _{n}$  — коэффициент, выбираемый таким образом, чтобы внутри радиуса $r_e$$r_e$  излучалась половина полной светимости галактики. Коэффициент ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n$$\nu _{n}$  не независим и связан с $n$$n$  (см. ниже^[⇨]).

Другое распространённое представление формулы Серсика имеет вид:

$I(r)=I_0{e}^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{1/n}},$$I(r)=I_{0}e^{-\nu _{n}\alpha ^{1/n}}\,,$ 

где $I_0$$I_0$  — центральная поверхностная яркость, а $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=r/r_e$$\alpha =r/r_{e}$ . Между $I_0$$I_0$  и $I_e$$I_{e}$  выполняется соотношение $I_e=I_0{e}^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n}$$I_{e}=I_{0}e^{-\nu _{n}}$ .

Также можно записать формулу Серсика, если использовать поверхностную яркость в звёздных величинах на квадратную секунду дуги $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ :

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(r)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0+\frac{2,5{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n}{\ln <!--\; \; -->10}{\left(\frac{r}{r_e}\right)}^{1/n},$$\mu (r)=\mu _{0}+{\frac {2{,}5\nu _{n}}{\ln 10}}\left({\frac {r}{r_{e}}}\right)^{1/n}\,,$ 

где ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0$$\mu _{0}$  — звёздная величина на квадратную секунду, соответствующая $I_0$$I_0$ . Если аналогично определить ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_e$$\mu_e$ , то будет верно ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_e={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0+2,5{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n/\ln <!--\; \; -->10$$\mu _{e}=\mu _{0}+2{,}5\nu _{n}/\ln 10$ .

Связь между n и ν_nПравить

По определению, ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n$$\nu _{n}$  выбирается так, чтобы внутри $r_e$$r_e$  излучалась половина полной светимости галактики. Тогда её можно найти через функцию $L(<r)$ , которая выражает полную светимость $L$$L$  внутри круга с радиусом $r$$r$ . Функцию можно записать в виде интеграла по радиусу:

$L(<r)=\int _{0}^{r}I(R)2\pi RdR\,.$ 

После раскрытия $I(R)$$I(R)$  и замены $x={\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n(r/r_e{)}^{1/n}$$x=\nu _{n}(r/r_{e})^{1/n}$  получается:

$L(<r)=I_{0}r_{e}^{2}{\frac {2\pi n}{(\nu _{n})^{2n}}}\gamma (2n,x)\,,$ 

где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  ― неполная гамма-функция  (англ.) (рус., определяемая следующим образом:

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->},x)={\int <!--\; \int \; -->}_0^x{e}^{-<!--\; -\; -->t}{t}^{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}-<!--\; -\; -->1}dt.$$\gamma (\eta ,x)=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{\eta -1}dt\,.$ 

Функция $L(<r)$  будет равна полной светимости $L_T$$L_{T}$ , если $r=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$r=\infty$ . С учётом того, что $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->},\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})=\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})$$\gamma (\eta ,\infty )=\Gamma (\eta )$ , где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})$$\Gamma (\eta )$  — гамма-функция:

$L_T=I_0{r}_e^2\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n}{({\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n{)}^{2n}}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2n).$$L_{T}=I_{0}r_{e}^{2}{\frac {2\pi n}{(\nu _{n})^{2n}}}\Gamma (2n)\,.$ 

Поскольку внутри $r_e$$r_e$  излучается половина полной светимости галактики, то можно записать уравнение:

$\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(2n)=2\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(2n,{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n).$$\Gamma (2n)=2\gamma (2n,\nu _{n})\,.$ 

Получается, что ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n$$\nu _{n}$  зависит от $n$$n$ . Для данного уравнения на практике применимы численные решения, но также хорошую точность дают линейные приближения: например, в диапазоне $0{,}5<n<10$  применимо приближение ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_n=\mathrm{1,999}2n-<!--\; -\; -->\mathrm{0,327}1$$\nu _{n}=1{,}9992n-0{,}3271$ . Если галактика имеет эллиптическую, а не круговую форму, то формулы для $L(<r)$  и $L_T$$L_{T}$  нужно домножить на $1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$1-\varepsilon$  — здесь $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=1-<!--\; -\; -->b/a$$\varepsilon =1-b/a$  — видимая эллиптичность, а $b/a$$b/a$  — отношение осей эллипса, описывающего изофоту.

Частные случаи и сходные формулыПравить

Формула Серсика при некоторых $n$$n$  совпадает с другими функциями: при $n=4$$n=4$  функция переходит в закон де Вокулёра, при $n=1$$n = 1$  — в убывающую показательную функцию, при $n=0,5$$n=0{,}5$  — в функцию Гаусса.

Профиль Эйнасто, который используется для описания распределения плотности в гало тёмной материи, математически описывается той же функцией, что и закон Серсика. Он может быть записан как пропорциональность $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(r)\propto <!--\; \propto \; -->e^{-<!--\; -\; -->(r/r_{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$$\rho (r)\propto e^{-(r/r_{*})^{\alpha }}$ , где $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — плотность тёмной материи на расстоянии $r$$r$  от центра, $r_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$r_{*}$  — характерный радиус, а $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — параметр, эквивалентный $1/n$$1/n$ , в то время как подобная пропорциональность для закона Серсика выглядит как $I(r)\propto <!--\; \propto \; -->e^{-<!--\; -\; -->(r/r_e{)}^{1/n}}$$I(r)\propto e^{-(r/r_{e})^{1/n}}$ .

ПрименениеПравить

Закон Серсика хорошо описывает распределение яркости как в целых галактиках, так и в отдельных её частях. Распределение поверхностной яркости в большинстве балджей и в эллиптических галактиках невысокой яркости хорошо моделируются законом Серсика при $1<n<4$ . Для балджей с невысокой светимостью в основном подходит $n=1$$n = 1$ , а для наиболее ярких балджей и ярких эллиптических галактик — $n=4$$n=4$  (закон Вокулёра), и в среднем подходящий $n$$n$  увеличивается с ростом светимости балджа. Для дисков галактик обычно $n=1$$n = 1$ . Для баров закон Серсика также может использоваться — в этом случае обычно $0{,}5<n<1$ , однако нередко бывает и вне этого значения.

С развитием компьютерных методов анализа изображений наиболее распространённым стал анализ составляющих галактик по отдельности, в том числе с использованием функции Серсика для их описания, а не апроксимация изображения галактики законом Серсика целиком.

Закон Серсика является полностью эмпирическим и не следует из каких-либо теоретических соображений, хотя в численных моделях воспроизводятся распределения яркости, описываемые законом Серсика. Например, в моделях в результате слияний галактик с сопоставимыми массами получившаяся система распределения яркости близка к закону Серсика с $n=4$$n=4$ , в то время как распределения яркости с $n=1$$n = 1$  появляются в результате «спокойной» динамической эволюции.

Показатель $n$$n$  для конкретной галактики коррелирует с её морфологическим типом. Для эллиптических галактик и балджей наблюдается корреляция $n$$n$  с множеством параметров, среди которых — светимость и размеры, масса чёрной дыры в центре и центральная дисперсия скоростей.

• Несколько галактик, для которых проводилась апроксимация распределения яркости законом Серсика, изображения SDSS (в скобках указано полученное $n$$n$ )
•  

  NGC 2976 ($n\approx <!--\; \approx \; -->0,55$$n\approx 0{,}55$ )

•  

  NGC 428 ($n\approx <!--\; \approx \; -->1,2$$n\approx 1{,}2$ )

•  

  M 74 ($n\approx <!--\; \approx \; -->2,1$$n\approx 2{,}1$ )

•  

  M 81 ($n\approx <!--\; \approx \; -->3,4$$n\approx 3{,}4$ )

•  

  M 84 ($n\approx <!--\; \approx \; -->4,9$$n\approx 4{,}9$ )

ИсторияПравить

Формула Серсика названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика, который впервые использовал её. В 1968 году он опубликовал «Атлас южных галактик» и применил свою формулу, чтобы описать распределение яркости во всех достаточно крупных галактиках атласа. Серсик также показал, что параметр $n$$n$  коррелирует с морфологическим типом галактики.

Сам Серсик рассматривал свою формулу как обобщение закона де Вокулёра, который Жерар Анри де Вокулёр предложил в 1948 году.

ЛитератураПравить

• Засов А. В., Постнов К. А. Общая астрофизика. — 2-е изд. испр. и дополн. — Фрязино: Век 2, 2011. — 576 с. — ISBN 978-5-85099-188-3.