Задача Минковского

Задача Минковского:

существует ли замкнутая выпуклая гиперповерхность $F$$F$, у которой гауссова кривизна $G(n)$$G(n)$ является заданной функцией единичного вектора внешней нормали $n$$n$.

Поставлена Минковским, которому принадлежит обобщённое решение задачи в том смысле, что оно не содержит никакой информации о характере регулярности $F$$F$, даже если $G(n)$$G(n)$ — аналитическая функция. Он доказал, что если заданная на единичной гиперсфере $S$$S$ непрерывная положительная функция $G(n)$$G(n)$ удовлетворяет условию

$\underset{S}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{n}{G(n)}ds=0,$$\int \limits _{S}{\frac {n}{G(n)}}ds=0,$

то существует и притом единственная (с точностью до параллельного переноса) замкнутая выпуклая поверхность $F$$F$, для которой $G(n)$$G(n)$ является гауссовой кривизной в точке с внешней нормалью $n$$n$.

Регулярное решение задачи Минковского дано А. В. Погореловым в 1971 году. В частности, он доказал, что если $K(n)$$K(n)$ принадлежит классу $C^m$$C^{m}$, $m\ge <!--\; \ge \; -->3$$m\geq 3$, то получаемая поверхность $F$$F$ принадлежит классу гладкости $C^{m+1,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$C^{m+1,\alpha }$, а в случае аналитичности $K(n)$$K(n)$ поверхность $F$$F$ также оказывается аналитической.

Вариации и обобщенияПравить

• Существует обобщение задачи Минковского для риманова пространства.

См. такжеПравить

• Теорема Минковского о многогранниках

ЛитератураПравить

• Minkowski H. Volumen und Oberfläche, Mathematische Annalen, 57 (1903) 447—495
• Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971;
• Буземан Г. Выпуклые поверхности. — 1964.