Ехиднаэдр

Группа симметрии

Икосаэдрическая (I_h)

Тип

Звёздчатая форма икосаэдра

Обозначения

Дю Валь: H
Веннинджер: W₄₂

Элементы
(в форме звёздчатого многогранника)

Г = 20, Р = 90
В = 60 (χ = −10)

Элементы
(в форме созвездия икосаэдра)

Г = 180, Р = 270
В = 92 (χ = 2)

Свойства
(как звёздчатого многогранника)

Вершино-транзитивный, гране-транзитивный

Эннеаграмма ехиднаэдра	Ядро звёздчатого многогранника	Выпуклая оболочка
	Икосаэдр	Усечённый икосаэдр

Ехидна́эдр (англ. echidnahedron) — последняя звёздчатая форма икосаэдра^[1]^[2], также называют полной или завершающей формой икосаэдра, так как она включает в себя все ячейки звёздчатой диаграммы^[en] икосаэдра.

Впервые ехиднаэдр был описан Максом Брюкнером в 1900 году. Название ехиднаэдру дал Эндрю Хьюм, опираясь на то, что его телесные углы при вершинах малы и это делает его похожим на колючего ежа или ехидну^[3].

ПредставлениеПравить

На основании анализа научной литературы Бранко Грюнбаум в статье «Может ли каждая плоскость многогранника иметь много сторон?» («Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?») отмечает, что существует по крайней мере три различных метода рассмотрения многогранников. В случае ехиднаэдра это:

объединение 180 треугольных граней;
пересечение 20 самопересекающихся граней — эннеаграмм;
пересечение 18-угольных звёздчатых многоугольников^[4].

В форме созвездия икосаэдраПравить

Как простая, видимая поверхность многогранника, внешняя форма ехиднаэдра состоит из 180 треугольных граней, которые образуют 270 рёбер, которые, в свою очередь, встречаются в 92 вершинах^[5].

Все вершины ехиднаэдра лежат на поверхности трёх концентрических сфер. Внутренняя группа из 20 вершин образует вершины правильного додекаэдра; следующий слой из 12 вершин образует вершины правильного икосаэдра; и наружный слой из 60 вершин образует вершины усечённого икосаэдра^[6].

Выпуклые оболочки каждой сферы вершин
Внутренняя	Средняя	Внешняя	Все три
20 вершин	12 вершин	60 вершин	92 вершины
Додекаэдр	Икосаэдр	Усечённый икосаэдр	Ехиднаэдр

В форме звёздчатого многогранникаПравить

Двадцать (9/4) многоугольных граней (одна из граней обозначена жёлтым с 9-ю пронумерованными вершинами)

Звёздчатая диаграмма икосаэдра с пронумерованными ячейками. Ехиднаэдр образован всеми ячейками в эннеаграмме, но только внешние области, обозначенные числом «13» на диаграмме, видны

Завершающая звёздчатая форма икосаэдра также может быть рассмотрена как самопересекающийся звёздчатый многогранник, имеющий 20 граней, соответствующих 20 граням икосаэдра. Каждая грань является неправильным звёздчатым многоугольником (или эннеаграммой)^[7]. Каждые три грани образуют одну вершину, поэтому ехиднаэдр имеет 20 × 9 ÷ 3 = 60 вершин (этот внешний слой вершин и образует кончики «колючки») и 20 × 9 ÷ 2 = 90 рёбер (каждое ребро звёздчатого многогранника включает 2 из 180 видимых рёбер многогранника).

Как завершающая форма икосаэдраПравить

Эта звёздчатая форма многогранника образуется путём присоединения к икосаэдру всех отсеков, получаемых при продлении граней икосаэдра бесконечными плоскостями^[8]. Таким образом, создается новый многогранник, ограниченный этими плоскостями как гранями, а пересечениями этих плоскостей являются рёбра. В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» перечислены созвездия икосаэдра (включая ехиднаэдр) в соответствии с набором правил, выдвинутым Джеффри Миллером^[1].

СвойстваПравить

Наименования и классификацияПравить

Символ Дю Валя^[9] ехиднаэдра — это H, поскольку он включает все ячейки в схеме созвездия, в том числе наиболее удалённый уровень - уровень «h»^[10].
В книге Магнуса Веннинджера Модели многогранников ехиднаэдр имеет индекс W₄₂^[2].
Если бы грани ехиднаэдра являлись правильными эннаграммами, его можно было бы рассматривать как правильный многогранник с символом Шлефли {9/4,3}. Это означает, что в каждой вершине сходятся 3 грани, где каждая грань представляет собой неправильный 9/4 звёздчатый многоугольник^[7].

ХарактеристикиПравить

Эйлерова характеристика ехиднаэдра равна 2^[5]. Данная характеристика считается по формуле $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}},$ где Г, Р и В — числа граней, рёбер и вершин соответственно.
Если рассматривать ехиднаэдр как звёздчатый многогранник, то завершающая форма икосаэдра является благородным многогранником^[en], так как он является равногранным (гране-транзитивным) и изогональным (вершинно-транзитивным).

ФормулыПравить

Если рассматривать ехиднаэдр как геометрическое тело с длинами рёбер a, Φa, Φ²a и Φ²a√2 (где Φ — золотое сечение), то площадь поверхности ехиднаэдра составляет^[6]

\text{[math]}

S={\frac {1}{20}}(13211+{\sqrt {174306161}})a^{2}\,,

а объём^[6]

\text{[math]}

V=(210+90{\sqrt {5}})a^{3}\,.

Радиусы сфер, на которых расположены вершины ехиднаэдра, находятся в соотношении^[6]

\text{[math]}

{\sqrt {{\frac {3}{2}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(97+43{\sqrt {5}}\right)}}\,.

Тензор инерции ехиднаэдра постоянной плотности может быть представлен как диагональная матрица 3×3, элементы главной диагонали которой равны $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\textstyle {\frac {1}{45}}\left(299+131{\sqrt {5}}\right)Ma^{2}$ (где M — общая масса)^[6].

Исторический очеркПравить

Ехиднаэдр принадлежит к звёздчатым многогранникам, которые впервые в научной литературе были описаны в 1619 году в трактате Harmonices Mundi Иоганом Кеплером. Кеплер дал математическое обоснование свойств двух типов правильных звёздчатых многогранников: малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр^[11]. Гораздо позже — в 1809 году — Луи Пуансо заново открыл многогранники Кеплера, а также открыл ещё два звёздчатых многогранника: большой додекаэдр и большой икосаэдр, которые теперь называют телами Кеплера — Пуансо^[12]. А в 1812 году Огюстен Коши доказал, что существует только 4 вида правильных звёздчатых многогранников^[7]^[11].

Впервые ехиднаэдр был описан в 1900 году Максом Брюкнером в классической работе о многогранниках, озаглавленной «Многоугольники и многогранники», где помимо него были описаны ещё 9 звёздчатых форм икосаэдра^[13]. С тех пор ехиднаэдр стал появляться в работах других математиков, причём он не имел единого обозначения. В 1924 году Альберт Виллер опубликовал список 20 звёздчатых форм (22, включая копии), и в том числе ехиднаэдр^[14]. Наиболее систематическое и полное исследование звёздчатых многогранников провели Гарольд Коксетер совместно с Патриком дю Валем, Флейзером и Джоном Петри в 1938 году в книге Пятьдесят девять икосаэдров, где они применили правила ограничения, установленные Дж. Миллером. Коксетер доказал, что существует всего 59 звёздчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Ехиднаэдр занимает восьмое место в книге^[1]. В труде Магнуса Веннинджера, изданной в 1974 году Модели многогранников, ехиднаэдр включён как 17-я модель икосаэдра с индексом W₄₂^[2].

Ехидна

Современное название последней звёздчатой формы икосаэдра дал Эндрю Хьюм в 1995 году в своей базе данных Netlib^[en] как echidnahedron^[15] (ехидна, или колючий муравьед, небольшое млекопитающее, покрытое жёсткими волосами и шипами, сворачивается в клубок, чтобы защититься).

База данных Netlib охватывает все регулярные многогранники^[en], архимедовы тела, ряд призм и антипризм, все многогранники Джонсона
(выпуклые многогранники, у которых каждая грань — правильный многоугольник) и некоторые странные многогранники, включая ехиднаэдр (моё название, на самом деле это завершающая форма икосаэдра).
Оригинальный текст (англ.)[показатьскрыть]

"It (Netlib) covers all the regular polyhedra, archimedean solids, a number of prisms and antiprisms, and all the Johnson polyhedra (all convex polyhedra with regular polygonal faces) and some odd solids including the echidnahedron (my name; its actually the final stellation of the icosahedron)".

— ^[3]

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² ³ Коксетер и другие, 1999.
↑ ¹ ² ³ Веннинджер, 1971.
↑ ¹ ² База данных многогранников.
↑ Branko Grünbaum, 2008, p. 15.
↑ ¹ ² Polyhedra.org.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Ехиднаэдр на MathWorld.
↑ ¹ ² ³ Питер Кромвель, 1997.
↑ Веннинджер, модель №42.
↑ Дю Валь изобрёл символическое обозначение для идентификации наборов конгруэнтных ячеек, основанное на наблюдении, что они расположены в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра.
↑ Питер Кромвель, 1997, с. 259.
↑ ¹ ² MathWorld.
↑ Луи Пуансо, 1810.
↑ Макс Брюкнер, 1900.
↑ Альберт Виллер, 1924.
↑ Эндрю Хьюм, модель 141.

ЛитератураПравить

Harold Scott MacDonald Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie. Пятьдесят Девять Икосаэдров = The Fifty-Nine Icosahedra. — 3-е изд. — Tarquin, 1999. — P. 30–31. — 72 p. — ISBN 978-1-899618-32-3.
Magnus J. Wenninger. Модели многогранников = Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1971. — P. 65. — ISBN 0-521-09859-9.
Louis Poinsot. Записки о многоугольниках и многогранниках = Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique, 1810. — P. 16–48.
Peter R. Cromwell. Многогранники = Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — P. 268. — ISBN 0-521-66405-5.
Max Brückner. Многоугольники и многогранники: теория и история = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. — Leipzig: B. G. Teubner Verlag, 1900. — ISBN 978-1-4181-6590-1.
A. H. Wheeler. Некоторые формы икосаэдра и метод получения и обозначения высших многогранников (англ.) = Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra // Proc. Internat. Math. Congress. — Toronto, 1924. — Vol. 1. — P. 701–708.
Gerald Jenkins, Magdalen Bear. Последняя звёздчатая форма икосаэдра: расширенная математическая модель — вырезать и склеить = The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together. — Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. — ISBN 978-0-906212-48-6.
Branko Grünbaum. Может ли каждая грань многогранника иметь много сторон? (англ.) = Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?. — 2008. — P. 15.

СсылкиПравить

Andrew Hume. Geometry.research › Polyhedra database (англ.). Google.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
Andew Hume. Polyhedron database Netlib, model 141 (англ.). Дата обращения: 7 ноября 2014.
Eric Weisstein. Kepler-Poinsot Solid (англ.). Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
Eric Weisstein. Echidnahedron (англ.). Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
Eric Weisstein. Icosahedron Stellations (англ.). Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 7 ноября 2014.
Ralph Jones. Instructions for constructing a model of the echidnahedron (англ.) (Microsoft Word(.doc)). Дата обращения: 26 октября 2014. Архивировано 4 октября 2011 года.
Guy Inchbald. Towards stellating the icosahedron and faceting the dodecahedron (англ.). Дата обращения: 7 ноября 2014.
Echidnahedron (англ.). Honeylocust Media Systems (2006). Дата обращения: 26 октября 2014. Архивировано 7 октября 2008 года.
Завершающая звёздчатая форма икосаэдра (рус.). Wenninger.narod.ru. Дата обращения: 3 ноября 2014.

[_bcc00c474b972ec8-1] ¹ ² ³ Коксетер и другие, 1999.

[_7007dd61c6c2d2c1-2] ¹ ² ³ Веннинджер, 1971.

[_0e37a14b3eb05b49-3] ¹ ² База данных многогранников.

[_3a52b0aea288ccfb-4] Branko Grünbaum, 2008, p. 15.

[_e667f5299ee65761-5] ¹ ² Polyhedra.org.

[_b0b4285f2e306c1d-6] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Ехиднаэдр на MathWorld.

[_a5c44011d859ea35-7] ¹ ² ³ Питер Кромвель, 1997.

[_d97becec86b07a20-8] Веннинджер, модель №42.

[9] Дю Валь изобрёл символическое обозначение для идентификации наборов конгруэнтных ячеек, основанное на наблюдении, что они расположены в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра.

[_0244d75fe4c7b52f-10] Питер Кромвель, 1997, с. 259.

[_d6eb3ac8945940f1-11] ¹ ² MathWorld.

[_4b12d2a0830d7c66-12] Луи Пуансо, 1810.

[_d1f2e744630202e3-13] Макс Брюкнер, 1900.

[_ca68aef4c3589935-14] Альберт Виллер, 1924.

[_843e4c5490e20af1-15] Эндрю Хьюм, модель 141.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]