Тождество Бохнера

Тождество Бохнера — общее название семейства тождеств в римановой геометрии, связывающих лапласианы разных типов и кривизну. Тождества получаемыe интегрированием тождества Бохнера иногда называются тождествами Рейли.

ФормулировкаПравить

Пусть $S$$S$  есть расслоение Дирака над римановым многообразием $M$$M$ , $D$$D$  — соответствующий оператор Дирака, и тогда

$D^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+\mathfrak{R}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$$D^{2}\phi =\nabla ^{*}\nabla \phi +{\mathfrak {R}}(\phi )$ 

для любого сечения $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->S$$\phi \colon M\to S$ .

ОбозначенияПравить

Далее $e_i$$e_{i}$  обозначает ортонормированный репер в точке.

• $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  обозначает связность на $S$$S$ , и

  ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=-<!--\; -\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{e_i}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{e_i}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},$$\nabla ^{*}\nabla \phi =-\sum _{i}\nabla _{e_{i}}\nabla _{e_{i}}\phi ,$ 

так называемый лапласиан по связности.

• $\mathfrak{R}$$\mathfrak{R}$  — сечение $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(S,S)$$\mathrm {Hom} (S,S)$ , определяемое как

  $\mathfrak{R}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\underset{i,j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}_i.e_j.R_{e_i,e_k}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},$${\mathfrak {R}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}\cdot \sum _{i,j}e_{i}.e_{j}.R_{e_{i},e_{k}}\phi ,$ 

где «$.$$.$ » обозначает умножение Клиффорда, и

$R_{X,Y}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_X{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_Y-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_Y{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_X-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{[X,Y]}$$R_{X,Y}=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}$ 

— преобразование кривизны.

• $D$$D$  — оператор Дирака на $S$$S$ , то есть

  $D\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}_i.{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{e_i}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}.$$D\phi =\sum _{i}e_{i}.\nabla _{e_{i}}\phi .$ 

и $D^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$D^{2}\phi =\Delta \phi$  лапласиан Ходжа на дифференциальных формах

СледствияПравить

• Из тождества Бохнера для градиента функции $u$$u$  получаем следующую интегральную формулу для любого замкнутого многообразия

  $\underset{M}{\int <!--\; \int \; -->}|\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u{|}^2-<!--\; -\; -->\underset{M}{\int <!--\; \int \; -->}|\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}u{|}^2=\underset{M}{\int <!--\; \int \; -->}\text{Ric}(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}u,\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}u)$$\int \limits _{M}|\Delta u|^{2}-\int \limits _{M}|\mathrm {Hess} \,u|^{2}=\int \limits _{M}{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$ ,

где $\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}u$$\mathrm {Hess} \,u$  обозначает гессиан $u$$u$ .

• Если $u:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$u\colon M\rightarrow \mathbb {R}$  — гармоническая функция, то

  $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->|\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}u{|}^2)=|{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}u{|}^2+\text{Ric}(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}u,\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}u)$$\Delta ({\tfrac {1}{2}}\cdot |\nabla u|^{2})=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$ ,

где $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}u$$\nabla u$  обозначает градиент $u$$u$ . В частности:

• Компактные многообразия с положительной кривизной Риччи не допускают ненулевых гармонических функций.
• Если $u$$u$  — гармоническая функция на многообразии с положительной кривизной Риччи, то функция $|\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}u|$$|\nabla u|$  субгармоническая.

• Из формулы Бохнера следует, что на компактных многообразиях с положительным оператором кривизны отсутствуют гармонические формы любой степени, то есть оно является рационально гомологической сферой.
  • Другим методом, а именно потоком Риччи, удалось доказать что любое такое многообразие диффеоморфно фактору сферы по конечной группе.

ЛитератураПравить

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.