Закон дисперсии

Зако́н диспе́рсии, или дисперсионное соотношение, в теории волн — функция зависимости частоты волны от волнового вектора:

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{k})$$\omega =\omega (\mathbf {k} )$.

Математический вид этой зависимости, выражающей связь временнóй и пространственной периодичности волны, определяется свойствами рассматриваемых колебаний и среды, в которой они распространяются.

Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

${\mathbf{v}}_{\text{ph}}=\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathbf{k}}{k},{\mathbf{v}}_{\text{gr}}=\frac{d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{d\mathbf{k}}$$\mathbf {v} _{\text{ph}}={\frac {\omega }{k}}\cdot {\frac {\mathbf {k} }{k}},\quad \mathbf {v} _{\text{gr}}={\frac {d\omega }{d\mathbf {k} }}$.

В простейшем случае линейной связи $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ и $k$$k$ эти скорости совпадают.

Законы дисперсии существуют для волн любой природы, в том числе для электромагнитных и упругих. Концепция корпускулярно-волнового дуализма позволяет записать данный закон также для волн де Бройля, ассоциируемых с частицами, например электронами.

Иногда дисперсионное соотношение задаётся в виде зависимости

$E=E(\mathbf{k})$$E=E(\mathbf {k} )$

для энергии кванта колебаний (фотона, фонона) $E=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$E=\hbar \omega$ или частицы, где $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$ — постоянная Планка-Дирака.

Волновое уравнение и дисперсияПравить

В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

Нахождение дисперсионного соотношенияПравить

Дисперсионные соотношения могут быть рассчитаны в рамках тех или иных моделей среды.

Экспериментально они не измеряются напрямую, но подлежат определению на основе анализа распространения волн. Например, закон дисперсии электромагнитной волны в некоторой среде можно получить на базе измерений частотной зависимости показателя преломления.

Примеры для волн различных типовПравить

Дисперсия видимого света в оптикеПравить

 

Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде

Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны.

Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

Упругие колебания атомов в цепочкеПравить

Пусть имеется одномерная линейная цепочка атомов массой $m$$m$ , расстояние между ними $d$$d$ . Сместим $n$$n$ -й атом на малое расстояние $u_n$$u_{n}$ . Из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

С учётом ближайших соседей, действующая на $n$$n$ -й атом смла запишется как

$F_n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(u_n-<!--\; -\; -->u_{n+1})-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(u_n-<!--\; -\; -->u_{n-<!--\; -\; -->1})=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(u_{n+1}-<!--\; -\; -->2u_n+u_{n-<!--\; -\; -->1}),$$F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{{n+1}})-\beta (u_{n}-u_{{n-1}})=\beta (u_{{n+1}}-2u_{n}+u_{{n-1}}),$ 

где $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  — коэффициент. Уравнение движения для $n$$n$ -го атома имеет вид

$m{a}_n=F_n⟺<!--\; ⟺\; -->m\frac{d^2{u}_n}{d{t}^2}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(u_{n+1}-<!--\; -\; -->2u_n+u_{n-<!--\; -\; -->1})$$ma_{n}=F_{n}\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1})$ .

Его решение ищется в форме $A{e}^{i(kd-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)}$$Ae^{i(kd-\omega t)}$ , где $k$$k$  — волновое число, $A=$$A=\,$ const, а $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — частота. Тогда

$-<!--\; -\; -->m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(e^{ikd}+e^{-<!--\; -\; -->ikd}-<!--\; -\; -->2)=-<!--\; -\; -->2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->kd)=-<!--\; -\; -->4\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{\sin }^2<!--\; \; -->(kd/2),$$-m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^{2}(kd/2),$ 

откуда получается:

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\pm <!--\; \pm \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_m\sin <!--\; \; -->kd/2,$$\omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},\,\,$  где ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_m=2\sqrt{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}/m}$$\,\,\omega _{m}=2{\sqrt {\beta /m}}$ .

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии, для одноатомной цепочки.

Законы дисперсии для электроновПравить

В физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией электрона и его волновым вектором. Такие зависимости могут иметь достаточно сложный вид. На их основе рассчитывается эффективная масса электрона в разных квантовых состояниях.

В полупроводниках, в диапазоне энергий электрона $E$$E$  вблизи минимума зона проводимости $E_c$$E_{c}$  дисперсионное соотношение часто повторяет соответствующее выражение для случая вакуума, но с эффективной массой $m^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$m^{*}$  отличной от массы свободного электрона:

$E=E_c+{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{k}^2/2m^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E=E_{c}+\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}$ .

Однако при повышении энергии выражение значительно модифицируется.

См. такжеПравить

• Дисперсия волн

ЛитератураПравить

Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.