Диаграмма Венна

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $U$ $U$ изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества^[1]^[2].

Диаграмма Венна, показывающая все пересечения греческого, русского и латинского алфавитов (буквы заглавные)

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов^[3], для :

описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них^[4]
синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов^[5],
построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств^[6],
получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений^[7]^[8].

Диаграммы Венна при помощи $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ фигур изображают все $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{n}$ $2^{n}$ комбинаций $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ свойств, то есть конечную булеву алгебру^[9]. При $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=3$ $n=3$ диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм ^[10], понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы^[11].

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Связь диаграмм Эйлера и ВеннаПравить

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами

22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера^[12]. Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики^[12].

На рис. ниже даны диаграммы Эйлера и Венна для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A=\{1,\,2,\,5\}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B=\{1,\,6\}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C=\{4,\,7\}$

диаграмма Эйлера
диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ Столл, 1968, с. 25.
↑ Нефедов, 1992, с. 8.
↑ Кузичев, 1968, с. 106.
↑ Кузичев, 1968, с. 171.
↑ Кузичев, 1968, с. 134.
↑ Кузичев, 1968, с. 9.
↑ Кузичев, 1968, с. 97.
↑ Столл, 1968, с. 26.
↑ Кузичев, 1968, с. 57.
↑ Кузичев, 1968, с. 124.
↑ Кузичев, 1968.
↑ ¹ ² Кузичев, 1968, с. 25.

СсылкиПравить

Weisstein, Eric W. «Диаграмма Венна» (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Эпизод 412 Архивная копия от 21 апреля 2012 на Wayback Machine сериала Numb3rs — изображение диаграмм Венна для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=5,\;7,\;11$ .
Построение диаграмм Венна on-line Архивная копия от 18 мая 2016 на Wayback Machine для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=3,4,5$ и исходный код.

ЛитератураПравить

Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.
Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. — М.: Наука, 1968. — 249 с.

[_ddbd703159b37c1c-1] Столл, 1968, с. 25.

[_812e7be3e80652ec-2] Нефедов, 1992, с. 8.

[_702afe073d7b4bd6-3] Кузичев, 1968, с. 106.

[_702b05073d7b57f4-4] Кузичев, 1968, с. 171.

[_702b01073d7b50cd-5] Кузичев, 1968, с. 134.

[_30c2737b6e3ff138-6] Кузичев, 1968, с. 9.

[_1a5b72bc56a6e21f-7] Кузичев, 1968, с. 97.

[_ddbd703159b37c1f-8] Столл, 1968, с. 26.

[_1a5b6ebc56a6db6b-9] Кузичев, 1968, с. 57.

[_702b00073d7b4f72-10] Кузичев, 1968, с. 124.

[_6b3f320175f4607b-11] Кузичев, 1968.

[_1a5b6dbc56a6d99c-12] ¹ ² Кузичев, 1968, с. 25.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]