Диаграмма Эйлера

Диагра́ммы Э́йлера (круги́ Э́йлера) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру #История ^[⇨]. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Не следует их путать с диаграммами Эйлера — Венна #Связь диаграмм Эйлера и Венна ^[⇨].

Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства:

\text{[math]}

B

B

— живое существо,

\text{[math]}

A

A

— человек,

\text{[math]}

C

C

— неживая вещь

Диаграммы Эйлера также называют кругами Эйлера. При этом «круги» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые фигуры.

На диаграммах Эйлера множества изображаются кругами (или другими фигурами). Причём непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами. Например, диаграмма на рисунке показывает, что множество A является подмножеством B, а B не пересекается с C.

ИсторияПравить

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.^[1]

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Венн предложил свою схему изображения отношения между множествами, которая теперь называется диаграммами Эйлера — Венна. Первоначально круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики^[2].

Связь диаграмм Эйлера и ВеннаПравить

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами

22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера — Венна в отличие от диаграмм Эйлера изображают все $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{n}$ комбинаций $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ свойств, то есть конечную булеву алгебру. При $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=3$ диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A=\{1,\,2,\,5\}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B=\{1,\,6\}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C=\{4,\,7\}$

диаграмма Эйлера
диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

ПримерыПравить

На рисунке внизу дана Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая тот факт, что множество существ с 4 конечностями является подмножеством животных, которое не пересекается с множеством минералов.

Диаграмма Эйлера

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.
↑ Кузичев, 1968, с. 25.

ЛитератураПравить

Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. — М.: Наука, 1968. — 249 с.

[1] Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.

[_1a5b6dbc56a6d99c-2] Кузичев, 1968, с. 25.

[1]

[2]