Дзета-функция Хассе — Вейля

Дзета-функция Хассе-Вейля — аналог дзета-функции Римана, который строится более сложным образом из количества точек многообразия в конечном поле. Это комплексная аналитическая функция, для эллиптических кривых её поведение около точки 1 тесно связано с группой рациональных точек этой эллиптической кривой.

Дзета-функция Хассе-Вейля как глобальная L-функцияПравить

Дзета-функция Хассе-Вейля, присоединенная к алгебраическому многообразию $V$$V$ , определённому над полем алгебраических чисел $K$$K$ , является одним двух наиболее важных типов L-функций. Такие L-функции называются глобальными, поскольку они определяются как произведение Эйлера локальных дзета-функций. Они образуют один из двух основных классов глобальных L-функций, а другой — L-функции, связанные с автоморфными представлениями. Гипотетически предполагается, что существует только один существенный тип глобальной L-функции с двумя описаниями (одно из них исходит из алгебраического многообразия, другое — из автоморфного представления); это было бы обширным обобщением гипотезы Таниямы-Симуры, самого глубокого и недавнего результата (на 2009-й год) в теории чисел.

Описание дзета-функции Хассе-Вейля с точностью до конечного числа множителей его эйлерового произведения относительно просто. Это получилось из начальных рассмотрений Хассе и Вейля, мотивированными случаем, когда $V$$V$  — это единственная точка, а дзета-функция Римана.

Взяв случай $K=\mathbb{Q}$$K=\mathbb {Q}$  и $V$$V$  — неособое проективное многообразие, мы можем для почти всех простых чисел $p$$p$  рассмотреть редукцию $V$$V$  по модулю $p$$p$ , то есть алгебраическое многообразие $V_p$$V_{p}$  над конечным полем ${\mathbb{F}}_p$$\mathbb {F} _{p}$ . Для почти всех $p$$p$  $V_p$$V_{p}$  будет неособым. Мы определяем $Z_{V/\mathbb{Q}}(s)$$Z_{V/\mathbb {Q} }(s)$ как ряд Дирихле комплексной переменной $s$$s$ , который является бесконечным произведением по всем простым числам локальных дзета-функций ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_{V,p}(p^{-<!--\; -\; -->s})$$\zeta _{V,p}(p^{-s})$ . Тогда $Z(s)$$Z(s)$ , согласно нашему определению, хорошо определено только с точностью до умножения на рациональную функцию от в конечного числа аргументов вида $p^{-<!--\; -\; -->s}$$p^{-s}$ .

Так как эта неопределённость относительно безвредна и имеет мероморфное продолжение всюду, то существует смысл, в котором свойства $Z(s)$$Z(s)$  существенно не зависят от него. В частности, хотя точная форма функционального уравнения для $Z(s)$$Z(s)$ , определенно будет зависеть от пропущенных множителей, но существование такого функционального уравнения от этих множителей зависеть не будет.

Более четкое определение дзета-функции Хассе-Вейля стало возможным благодаря развитию этальных когомологий; они аккуратно объясняют, что делать с недостающими множителями с плохой редукцией. В соответствии с общими принципами, видимыми в теории ветвления, простые с плохой редукцией несут хорошую информацию (теория кондуктора). Это проявляется в теории эталей в критерий Огга-Нерона-Шафаревича для хорошей редукции, а именно, что в определенном смысле существует хорошая редукция во всех простых числах $p$$p$ , для которых представление Галуа $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  на этальной когомологии группы $V$$V$  является неразветвлённым. Для них определение локальной дзета-функции можно восстановить в терминах характеристического многочлена $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{Frob}<!--\; \; -->(p)),$$\rho (\operatorname {Frob} (p)),$  где $\mathrm{Frob}<!--\; \; -->(p)$$\operatorname {Frob} (p)$  — эндоморфизм Фробениуса для $p$$p$ . Что происходит при разветвленном $p$$p$ , так это то, что $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  нетривиально в группе инерции $I(p)$$I(p)$ . Для таких простых определение должно быть исправлено, взяв наибольшее частное от представления $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ , на котором группа инерции действует тривиальным представлением. С этим уточнением определение $Z(s)$$Z(s)$  может быть успешно модернизировано с почти всех $p$$p$  до всех $p$$p$ , участвующих в произведении Эйлера. Следствия из функционального уравнения были разработаны Серром и Делинем в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение вообще не доказано.

Пример: эллиптическая кривая над полем рациональных чиселПравить

Пусть $E$$E$  — эллиптическая кривая над $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  c кондуктором $N$$N$ , а $p$$p$  — произвольное простое число. Тогда $E$$E$  имеет хорошую редукцию при всех $p$$p$ , не делящих $N$$N$ , имеет мультипликативную редукцию в случае, если $p$$p$  делит $N$$N$ , но $p^2$$p^{2}$  не делит $N$$N$ , и имеет аддитивную редукцию в прочих случаях (то есть если $p^2$$p^{2}$  делит $N$$N$ ). Тогда дзета-функция Хассе-Вейля от $E$$E$  принимает вид

$Z_{E/\mathbb{Q}}(s)=\frac{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s-<!--\; -\; -->1)}{L(s,E)}.$$Z_{E/\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E)}}.\,$ 

Здесь $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)$$\zeta (s)$  — обычная дзета-функция Римана, а $L(s,E)$$L(s,E)$  называется L — функцией $E/\mathbb{Q}$$E/\mathbb {Q}$ , которая имеет вид

$L(s,E)=\underset{p}{\prod <!--\; \prod \; -->}{L}_p(s,E{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$L(s,E)=\prod \limits _{p}L_{p}(s,E)^{-1}\,$ 

где для данного $p$$p$ ,

$L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{ если }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{ если }}p\mid N{\text{ и }}p^{2}\nmid N\\1,&{\text{ если }}p^{2}\mid N\end{cases}}$ 

где, в случае хорошего редукции $a_p=p+1-<!--\; -\; -->\text{число точек в }Emodp$$a_{p}=p+1-{\text{число точек в }}E{\bmod {p}}$ , а в случае мультипликативной редукции $a_p=\pm <!--\; \pm \; -->1$$a_{p}=\pm 1$  в зависимости от того, разделен ли $E$$E$  или нерасщепленной мультипликативной редукцией в $p$$p$ .

Гипотеза Хассе-ВейляПравить

Гипотеза Хассе-Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе-Вейля должна аналитически продолжаться на мероморфную функцию на всю комплексную плоскость и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному функциональному уравнению для дзета-функции Римана. Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе-Вейля следует из теоремы модулярности.

См. такжеПравить

• Арифметическая дзета-функция

ЛитератураПравить

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Новокузнецк: ИО НФМИ, 2000. — С. 99. — 312 с. — ISBN 5-8032-3325-0.
• [Сб. работ под редакцией Дж.Берштайна и Ст.Гелбарта Введение в программу Ленглендса] = An Introduction to the Langlands Program. — Москва, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2008. — С. 118. — 368 с. — ISBN 978-5-93972-697-9.