Почти всюду

Запрос «Почти все»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Об утверждении, зависящем от точки пространства с мерой, говорят, что оно выполнено почти всюду, если множество точек, для которых оно не выполнено, имеет меру ноль.

Часто используется сокращение, п.в. для почти всюду. Например для функций $f$$f$ и $h$$h$ выражение

$f={=}^{\text{п.в.}}h$$f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}h$

означает, что равенство

$f(x)=h(x)$$f(x)=h(x)$

выполняется при почти всех значениях переменной $x$$x$.

ОпределениеПравить

Пусть $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\mathcal{F},\mu)$  — пространство с мерой. Обозначим символом $T$$T$  множество точек из $X$$X$ , для которых верно некоторое утверждение $\mathcal{A}$$\mathcal{A}$ . Говорят, что утверждение $\mathcal{A}$$\mathcal{A}$  выполнено почти всюду (п.в.), если

$(X\setminus <!--\; \setminus \; -->T)\subset <!--\; \subset \; -->A,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)=0$$(X\setminus T) \subset A , \mu(A) = 0$ 

ЗамечанияПравить

• Множество, на котором условие не выполнено, не всегда является измеримым.
• Если пространство с мерой является вероятностным пространством, то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» или «почти наверняка» (см. статью «почти достоверное событие»).

ПримерыПравить

• Функция Дирихле равна нулю почти всюду, ибо $m(\mathbb{Q})=0$$m(\mathbb{Q}) = 0$ , где $m$$m$  — мера Лебега на $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ .
• Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.

См. такжеПравить

• Сходимость почти всюду