Разложение простых идеалов в расширениях Галуа

Разложение простых идеалов в расширениях Галуа — разложение простых идеалов $P$$P$ кольца целых $O_K$$O_{K}$ поля алгебраических чисел $K$$K$ в кольце целых $O_L$$O_{L}$ расширении Галуа $L/K$$L/K$ с группой Галуа $G$$G$. Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту, в связи с чем фигурирует под названием теория Гильберта.

Определения Править

Пусть $L/K$$L/K$  — конечное расширение числового поля, а $O_K$$O_{K}$  и $O_L$$O_{L}$  — кольца целых чисел $K$$K$  и $L$$L$  соответственно.

${\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}$ 

Наконец, пусть $P$$P$  является ненулевым простым идеалом в $O_K$$O_{K}$  или, что эквивалентно, максимальным идеалом, так что факторкольцо $O_K/P$$O_{K}/P$  — поле.

Из основ теории одномерного кольца следует существование единственного разложения идеала $P$$P$ :

$P=\underset{j=1}{\overset{g}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{P}_j^{e_j},$$P=\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}},$ 

где $P_j$$P_{j}$  — различные максимальные идеалы, а $e_j⩾<!--\; ⩾\; -->1$$e_{j}\geqslant 1$  — их кратность.

Поле $F=O_K/P$$F=O_{K}/P$  естественно вкладывается в $F_j=O_L/P_j$$F_{j}=O_{L}/P_{j}$  для каждого $j$$j$ , степень $f_j=[O_L/P_j:O_K/P]$$f_{j}=[O_{L}/P_{j}:O_{K}/P]$  этого расширения поля вычетов называется степенью инерции $P_j$$P_{j}$  над $P$$P$ .

Показатель $e_j$$e_j$  называется индексом ветвления $P_j$$P_{j}$  над $P$$P$ . Если $e_j>1$$e_{j}>1$  для некоторого $j$$j$ , то расширение $L/K$$L/K$  называется разветвленным в $P$$P$  (или мы говорим, что $P$$P$  разветвляется в $L$$L$ ). В противном случае $L/K$$L/K$  называется неразветвленным в $P$$P$ . Если это так, то по китайской теореме об остатках фактор $O_L/P$$O_{L}/P$  является произведением полей $F_j$$F_{j}$ . $P$$P$  разветвлён тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант, значит неразветвлено лишь конечное число простых идеалов.

Из мультипликативности нормы идеала вытекает

$[L:K]=\underset{j=1}{\overset{g}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}_j{f}_j.$$[L:K]=\sum \limits _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.$ 

Если $f_j=e_j$$f_{j}=e_{j}$  для всех $j$$j$  (и, следовательно, $g=[L:K]$$g=[L:K]$ ), то говорим, что $P$$P$  полностью разлагается в $L$$L$ . Если $g=1$$g=1$  и $f_1=1$$f_{1}=1$  (и поэтому $e_1=[L:K]$$e_{1}=[L:K]$ ), мы говорим, что $P$$P$  полностью разветвляется в $L$$L$ . Наконец, если $g=1$$g=1$  и $e_1=1$$e_{1}=1$  (и поэтому $f_1=[L:K]$$f_{1}=[L:K]$ ), мы говорим, что $P$$P$  инертен в $L$$L$ .

Разложение в расширениях Галуа Править

Пусть $L/K$$L/K$  является расширением Галуа. Тогда группа Галуа $G=\mathrm{Gal}<!--\; \; -->(L/K)$$G=\operatorname {Gal} (L/K)$  действует транзитивно на $P_j$$P_{j}$ . То есть простые идеальные множители в разложении $P$$P$  в $L$$L$  образуют единую орбиту при действии автоморфизма $L$$L$  над $K$$K$ . Из этого и теореме о единственности факторизации следует, что $f=f_j$$f=f_{j}$  и $e=e_j$$e=e_{j}$  не зависят от $j$$j$ . Тогда полученные соотношения принимают вид

$P={\left(\underset{j=1}{\overset{g}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{P}_j\right)}^e$$P=\left(\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}$ .

и

$[L:K]=efg.$$[L:K]=efg.$ 

Отсюда следует, что $[L:K]/ef=g$$[L:K]/ef=g$  — числу простых коэффициентов $P$$P$  в $O_L$$O_{L}$ . По формуле числа элементов в орбите $g=|G|/|D_{P_j}|$$g=|G|/|D_{P_{j}}|$  для всех $j$$j$ , где $D_{P_j}=\{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->G:\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(P_j)=P_j\}$$D_{P_{j}}=\{\sigma \in G:\sigma (P_{j})=P_{j}\}$  — стабилизатор $P_j$$P_{j}$ , называемый группой разложения идеала $P_j$$P_{j}$ . Так как $[L:K]=|G|$$[L:K]=|G|$  по базовой теории Галуа, то порядок группы разложения $|D_{P_j}|=ef$$|D_{P_{j}}|=ef$  для всех $j$$j$ .

Группа разложения содержит нормальную подгруппу $I_{P_j}$$I_{P_{j}}$ , называемую группой инерции $P_j$$P_{j}$ , состоящую из автоморфизмов $L/K$$L/K$ , которые индуцируют тождественный автоморфизм на $F_j=O_L/P_j$$F_{j}=O_{L}/P_{j}$ . Другими словами, $I_{P_j}$$I_{P_{j}}$  является ядром редукционного отображения $D_{P_j}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{Gal}<!--\; \; -->(F_j/F)$$D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)$ . Можно показать, что это отображение является сюръективным, и из этого следует, что $\mathrm{Gal}<!--\; \; -->(F_j/F)\cong <!--\; \cong \; -->D_{P_j}/I_{P_j}$$\operatorname {Gal} (F_{j}/F)\cong D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$  и $|I_{P_j}|=e$$|I_{P_{j}}|=e$ .

Теория элемента Фробениуса идет дальше, чтобы идентифицировать элемент $D_{P_j}/I_{P_j}$$D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$  для данного $j$$j$ , что соответствует автоморфизму Фробениуса в группе Галуа конечного расширения поля $F_j/F$$F_{j}/F$ . В неразветвленном случае порядок $|D_{P_j}|=f$$|D_{P_{j}}|=f$  и $I_{P_j}$$I_{P_{j}}$  тривиально. Кроме того, элемент Фробениуса в этом случае является элементом $D_{P_j}$$D_{P_{j}}$  (и, следовательно, также элемент из $G$$G$ ).

Разложение простых идеалов в полях, которые не являются расширениями Галуа, можно изучать с помощью поля разложения, то есть с помощью расширения Галуа, которое содержит исходное поле, но несколько больше, чем оно. Например, кубическое поле обычно вкладывается в расширение Галуа степени 6.

Пример — целые гауссовы числа Править

В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$$\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ . То есть мы берем $K=\mathbb{Q}$$K=\mathbb {Q}$  и $L=\mathbb{Q}(i)$$L=\mathbb {Q} (i)$ , поэтому $O_K=\mathbb{Z}$$O_{K}=\mathbb {Z}$  и $O_L=\mathbb{Z}[i]$$O_{L}=\mathbb {Z} [i]$  — кольцо гауссовых целых чисел. Хотя этот случай далек от репрезентативного, поскольку $\mathbb{Z}[i]$${\mathbb {Z}}[i]$  — Факториальное кольцо и конечное небольшое число квадратичных полей с единственным разложением на множители — он показывает многие из особенностей теории.

Обозначим $G$$G$  — группа Галуа $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$$\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ , $G=\{1,\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\}$$G=\{1,\sigma \}$ , где $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  — комплексно-сопряженный автоморфизм. Рассмотрим три случая.

Простое p = 2 Править

Простое 2 в $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$  разветвляется $\mathbb{Z}[i]$${\mathbb {Z}}[i]$ :

$(2)=((1+i{)}^2)$$(2)=((1+i)^{2})$ 

Индекс ветвления $e=2$$e=2$ . Поле вычетов здесь равно

$O_L/(1+i)O_L\cong <!--\; \cong \; -->{\mathbb{F}}_2$$O_{L}/(1+i)O_{L}\cong \mathbb {F} _{2}$ 

— конечное поле из 2-х элементов. Группа разложения $D_{(1+i)}=G$$D_{(1+i)}=G$ , так как существует только одно из чисел $\mathbb{Z}[i]$${\mathbb {Z}}[i]$  выше 2. Группа инерции $I_{1+i}=G$$I_{1+i}=G$ , так как

$a+bi\equiv <!--\; \equiv \; -->a-<!--\; -\; -->bimod1+i$$a+bi\equiv a-bi{\bmod {1+i}}$ 

для всех целых $a,b$$a,b$ 

На самом деле, 2 — это единственное простое, которое разветвляется в $\mathbb{Z}[i]$${\mathbb {Z}}[i]$ , так как каждое разветвляющееся простое должно делить дискриминант $\mathbb{Z}[i]$${\mathbb {Z}}[i]$ , который равен $-<!--\; -\; -->4$$-4$ .

Простые p ≡ 1 mod 4 Править

Любое простое $p\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}4)$$p\equiv 1{\pmod {4}}$  разлагается в произведение двух различных простых идеалов в $\mathbb{Z}[i]$${\mathbb {Z}}[i]$ ; это фактически теорема Ферма о сумме двух квадратов. Например:

$13=(2+3i)(2-<!--\; -\; -->3i)=2^2+3^2$$13=(2+3i)(2-3i)=2^{2}+3^{2}$ 

Обе группы разложения в этом случае тривиальны: $G_{2\pm <!--\; \pm \; -->3i}\{1\}$$G_{2\pm 3i}\{1\}$ , поскольку автоморфизм $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  переставляет $(2+3i)$$(2+3i)$  и $(2-<!--\; -\; -->3i)$$(2-3i)$ , поэтому $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\notin G_{2\pm <!--\; \pm \; -->3i}$$\sigma \not \in G_{2\pm 3i}$ . Группа инерции, также является тривиальной группой как подгруппа группы разложения. Существует два поля вычетов: по одному для каждого простого:

$O_L/(2\pm <!--\; \pm \; -->3i)O_L$$O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\,$ 

которые изоморфны ${\mathbb{F}}_{13}$$\mathbb {F} _{13}$ . Элемент Фробениуса будет тривиальным автоморфизмом, это означает, что

$(a+bi{)}^{13}\equiv <!--\; \equiv \; -->a+bi(\mathrm{mod}2\pm <!--\; \pm \; -->3i)$$(a+bi)^{13}\equiv a+bi{\pmod {2\pm 3i}}$ 

для всех $a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$a,b\in \mathbb {Z}$ 

Простые p ≡ 3 mod 4 Править

Любое простое $p:p\equiv <!--\; \equiv \; -->3(\mathrm{mod}4)$$p:p\equiv 3{\pmod {4}}$ , например $7$$7$ , остается простым, инертным, в $\mathbb{Z}[i]$${\mathbb {Z}}[i]$ , то есть не разлагается. В этой ситуации группа разложения $G_7=G$$G_{7}=G$ , потому что $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(7)=7$$\sigma (7)=7$ . Однако эта ситуация отличается от случая $p=2$$p=2$ , потому что теперь $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  не действует тривиально на поле вычетов $O_L/(7)O_L\cong <!--\; \cong \; -->{\mathbb{F}}_{7^2}$$O_{L}/(7)O_{L}\cong \mathbb {F} _{7^{2}}$ . Например, $1+i\not\equiv 1-<!--\; -\; -->i(\mathrm{mod}7)$$1+i\not \equiv 1-i{\pmod {7}}$ . Следовательно, группа инерции тривиальна: $I_7=\{1\}$$I_{7}=\{1\}$ . Группа Галуа $O_L/(7)O_L$$O_{L}/(7)O_{L}$  над подполем $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$$\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$  имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Фробениус — это не что иное, как $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  это значит, что

$(a+bi{)}^7\equiv <!--\; \equiv \; -->a-<!--\; -\; -->bimod7$$(a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}$ 

для всех $a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$a,b\in \mathbb {Z}$ 

Сводка Править

Простое в $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$	Как разлагается в $\mathbb{Z}[i]$${\mathbb {Z}}[i]$	Группа инерции	Группа разложения
$p=2$$p=2$	Разветвляется с индексом 2	$G$$G$	$G$$G$
$p\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}4)$$p\equiv 1{\pmod {4}}$	Разлагается на 2 различных простых множителя	$\{1\}$$\{1\}$	$\{1\}$$\{1\}$
$p\equiv <!--\; \equiv \; -->3(\mathrm{mod}4)$$p\equiv 3{\pmod {4}}$	Инертно, остается простым	$\{1\}$$\{1\}$	$G$$G$

Вычисление факторизации идеала Править

Предположим, что мы хотим разложить простой идеал $P$$P$  кольца $O_K$$O_{K}$  в простые идеалы кольца $O_L$$O_{L}$ . Следующая процедура (Neukirch, стр. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->O_L$$\theta \in O_{L}$ , такое что $L=K(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$L=K(\theta )$  (такое $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  существует по теореме о примитивном элементе), а затем изучить минимальный многочлен $H(X)$$H(X)$  элемента $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  над $K$$K$ . Редуцируя коэффициенты $H(X)$$H(X)$  по модулю $P$$P$ , получим многочлен $h(X)$$h(X)$  с коэффициентами из конечного поля $F=O_K/P$$F=O_{K}/P$ . Предположим, что $h(X)$$h(X)$  факторизуется в полиномиальном кольце $F[X]$$F[X]$  как

$h(X)=h_1(X{)}^{e_1}\cdots <!--\; \cdots \; -->h_n(X{)}^{e_n},$$h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},$ 

где $h_j$$h_{j}$  — различные неприводимые многочлены в $F[X]$$F[X]$ . Тогда, если $P$$P$  не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), разложение $P$$P$  имеет следующий вид:

$P{O}_L=Q_1^{e_1}\cdots <!--\; \cdots \; -->Q_n^{e_n},$$PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},$ 

где $Q_j$$Q_{j}$  — различные простые идеалы $O_L$$O_{L}$ . Кроме того, степень инерции каждого $Q_j$$Q_{j}$  равна степени соответствующего многочлена $h_j$$h_{j}$ , и существует явная формула для $Q_j$$Q_{j}$ :

$Q_j=P{O}_L+h_j(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})O_L,$$Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},$ 

где $h_j$$h_{j}$  обозначает здесь подъём многочлена $h_j$$h_{j}$  в $K[X]$$K[X]$ .

В случае расширения Галуа степени инерции равны, а индексы ветвления $e_1=...=e_n$$e_{1}=...=e_{n}$ .

Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не всегда имеет место, являются теми, которые не являются взаимно простыми по отношению к кондуктору кольца $O_K[\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}]$$O_{K}[\theta ]$ . Кондуктор определяется как идеал

$\{y\in <!--\; \in \; -->O_L:y{O}_L\subseteq <!--\; \subseteq \; -->O_K[\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}]\};$$\{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};$ 

он измеряет, насколько порядок $O_K[\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}]$$O_{K}[\theta ]$  является полным кольцом целых чисел (максимальный порядок) $O_L$$O_{L}$ .

Существенным препятствием является то, что существуют такие $L/K$$L/K$  и $P$$P$ , для которых нет $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ , удовлетворяющего вышеприведенным гипотезам (см., например,). Поэтому приведенный выше алгоритм нельзя использовать для определения такого $P$$P$ , и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанные в.

Пример расчёта Править

Рассмотрим снова случай гауссовых целых чисел. Мы возьмем $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=i$$\theta =i$  — мнимую единицу $H(X)=X^2+1$$H(X)=X^{2}+1$ . Так как $\mathbb{Z}[i]$${\mathbb {Z}}[i]$  — кольцо целых чисел $\mathbb{Q}(i)$$\mathbb {Q} (i)$ , кондуктор является единичным идеалом, поэтому нет исключительных простых чисел.

Для $P=(2)$$P=(2)$  нам нужно работать в поле $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ , что сводится к разложению многочлена $X^2+1$$X^{2}+1$  по модулю 2:

$X^2+1=(X+1{)}^2(\mathrm{mod}2).$$X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.$ 

Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он задается формулой

$Q=(2)\mathbb{Z}[i]+(i+1)\mathbb{Z}[i]=(1+i)\mathbb{Z}[i].$$Q=(2)\mathbb {Z} [i]+(i+1)\mathbb {Z} [i]=(1+i)\mathbb {Z} [i].$ 

Следующий случай для $P=(p)$$P=(p)$  для простого $p\equiv <!--\; \equiv \; -->3(\mathrm{mod}4)$$p\equiv 3{\pmod {4}}$ . Например, возьмем $P=(7)$$P=(7)$ . Многочлен $X^2+1$$X^{2}+1$  неприводим по модулю 7. Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 2 и индексом ветвления 1 и он задается формулой

$Q=(7)\mathbb{Z}[i]+(i^2+1)\mathbb{Z}[i]=7\mathbb{Z}[i].$$Q=(7)\mathbb {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbb {Z} [i]=7\mathbb {Z} [i].$ 

Последний случай — $P=(p)$$P=(p)$  для простого $p\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}4)$$p\equiv 1{\pmod {4}}$ ; мы снова возьмем $P=(13)$$P=(13)$ . На этот раз мы имеем разложение

$X^2+1=(X+5)(X-<!--\; -\; -->5)(\mathrm{mod}13).$$X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.$ 

Поэтому существуют два основных множителя, как с степенью инерции, так и с индексом ветвления равным 1. Они даются выражением

$Q_1=(13)\mathbb{Z}[i]+(i+5)\mathbb{Z}[i]=\cdots <!--\; \cdots \; -->=(2+3i)\mathbb{Z}[i]$$Q_{1}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i+5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbb {Z} [i]$ 

and

$Q_2=(13)\mathbb{Z}[i]+(i-<!--\; -\; -->5)\mathbb{Z}[i]=\cdots <!--\; \cdots \; -->=(2-<!--\; -\; -->3i)\mathbb{Z}[i].$$Q_{2}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i-5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbb {Z} [i].$ 

Ссылки Править

• PlanetMath, Splitting and ramification in number fields and Galois extensions, <http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6818> 
• William Stein, A brief introduction to classical and adelic algebraic number theory, <http://www.williamstein.org/papers/ant/> 

Литература Править

• Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 428 с.