Гладкое многообразие

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

ОпределениеПравить

Пусть $X$$X$  — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  найдется её окрестность $U$$U$ , гомеоморфная открытому подмножеству пространства ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , то $X$$X$  называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности $n$$n$ .

Пара $(U,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$$(U,\phi )$ , где $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой $X$$X$  в точке $x$$x$ . Таким образом, каждой точке соответствует набор $n$$n$  вещественных чисел $(x^1,\dots <!--\; \dots \; -->,x^n)$$(x^{1},\ldots ,x^{n})$ , которые называются координатами в карте $(U,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$$(U,\phi )$ . Множество карт $\{(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})\},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A,$$\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,$  называется $C^k$$C^k$ -атласом $(0⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(0\leqslant k\leqslant \infty )$  многообразия $X$$X$ , если:

• совокупность всех $U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$U_{\alpha }$  покрывает $X$$X$ , т.е. $X={\cup <!--\; \cup \; -->}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}{U}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }$ 
• для любых $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->A$$\alpha ,\beta \in A$  таких, что $U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->U_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$ , отображение:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}:{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->U_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}})\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cap <!--\; \cap \; -->U_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}})$$\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ 

является гладким отображением класса $C^k$$C^k$ ;

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\phi _{\alpha }^{\beta }$  является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты $(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})$$(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$  с картой $(U_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}},{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}).$$(U_{\beta },\phi _{\beta }).$ 

Два $C^k$$C^k$ -атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует $C^k$$C^k$ -атлас. Совокупность $C^k$$C^k$ -атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые $C^k$$C^k$ -структурами, при $1⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$1\leqslant k\leqslant \infty$  — дифференциальными (или гладкими) структурами.

Топологическое многообразие $X$$X$ , наделенное $C^k$$C^k$ -структурой, называется $C^k$$C^k$ -гладким многообразием.

ЗамечанияПравить

• Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую $C^a$$C^{a}$ -структурой.

Комплексные многообразияПравить

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  более общих пространств ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb {C} ^{n}$  или даже $K^n$$K^n$ , где $K$$K$  — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае $K=\mathbb{C}$$K=\mathbb {C}$  рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) $C^k$$C^k$ -структуры ($k⩾<!--\; ⩾\; -->1$$k\geqslant 1$ ) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структурыПравить

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^\infty$ -структура, и на $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^\infty$ -многообразии,$0⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$0\leqslant k\leqslant \infty$ , — $C^r$$C^{r}$ -структура, если $0⩽<!--\; ⩽\; -->r⩽<!--\; ⩽\; -->k$$0\leqslant r\leqslant k$ . Наоборот, любое паракомпактное $C^r$$C^{r}$ -многообразие, $r⩾<!--\; ⩾\; -->1$$r\geqslant 1$ , можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что $C^0$$C^{0}$ -многообразие нельзя наделить $C^1$$C^1$ -структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(n)$$\theta (n)$  $C^1$$C^1$ -неизоморфных $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^\infty$ -структур на $n$$n$ -мерной сфере равно:

$n$$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(n)$$\theta (n)$	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

ОтображенияПравить

Пусть $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  — непрерывное отображение $C^r$$C^{r}$ -многообразий $X,Y$$X,Y$ ; оно называется $C^k$$C^k$ -морфизмом (или $C^k$$C^k$ -отображением, $k⩽<!--\; ⩽\; -->r$$k\leqslant r$ , или отображением класса $C^k$$C^k$ ) гладких многообразий, если для любой пары карт $(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})$$(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$  на X и $(V_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}},{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}})$$(V_{\beta },\psi _{\beta })$  на Y такой, что $f(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})\subset <!--\; \subset \; -->V_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }$  и отображение:

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\circ <!--\; \circ \; -->f\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}:{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(V_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}})$$\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })$ 

принадлежит классу $C^k$$C^k$ . Биективное отображение $f$$f$ , если оно и $f^{-<!--\; -\; -->1}$$f^{-1}$  являются $C^k$$C^k$ -отображениями, называется $C^k$$C^k$ -изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае $X$$X$  и $Y$$Y$  и их $C^r$$C^{r}$ -структуры называются $C^k$$C^k$ -изоморфными.

Подмножества и вложенияПравить

Подмножество $Y$$Y$  $n$$n$ -мерного $C^k$$C^k$ -многообразия $X$$X$  называется $C^k$$C^k$ -подмногообразием размерности $m$$m$  в $X$$X$ , если для произвольной точки $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$  существует карта $(U,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$$(U,\phi )$  $C^k$$C^k$ -структуры $X$$X$ , такая, что $y\in <!--\; \in \; -->U$$y\in U$  и $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  индуцирует гомеоморфизм $U\cap <!--\; \cap \; -->Y$$U\cap Y$  с (замкнутым) подпространством ${\mathbb{R}}^m\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}$ ; иными словами, существует карта с координатами $(x^1,\dots <!--\; \dots \; -->,x^n)$$(x^{1},\ldots ,x^{n})$ , такая, что $U\cap <!--\; \cap \; -->Y$$U\cap Y$  определяется соотношениями $x^{m+1}=\dots <!--\; \dots \; -->=x^n=0$$x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0$ .

Отображение $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  называется $C^k$$C^k$ -вложением, если $f(X)$$f(X)$  является $C^k$$C^k$ -подмногообразием в $Y$$Y$ , а $X\to <!--\; \to \; -->f(X)$$X\to f(X)$  — $C^k$$C^k$ -диффеоморфизм.

Любое $n$$n$ -мерное $C^k$$C^k$ -многообразие допускает вложение в ${\mathbb{R}}^{2n+1}$$\mathbb{R} ^{{2n+1}}$ , а также в ${\mathbb{R}}^{2n}.$$\mathbb{R} ^{{2n}}.$  Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений $C^k(X,{\mathbb{R}}^{2n+1})$$C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}})$  относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

ЛитератураПравить

• Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
• Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
• Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
• Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
• Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
• Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.