Гипотеза Морделла

Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода $g>1$$g>1$, выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ рациональных чисел на произвольное числовое поле. Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.

ПредпосылкиПравить

Пусть $C$$C$  — неособая алгебраическая кривая над полем $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ . Множество рациональных точек кривой $C$$C$  зависит от её рода $g$$g$  следующим образом:

• Случай $g=0$$g=0$ : рациональных точек нет, либо их бесконечно много; $C$$C$  является коническим сечением.
• Случай $g=1$$g=1$ : рациональных точек нет, либо $C$$C$  является эллиптической кривой, а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу. Это следует из теоремы Морделла, позднее обобщённой до теоремы Морделла — Вейля (англ.). Кроме того, теорема Мазура о кручении ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.
• Случай $g>1$$g>1$ : согласно выдвинутой Морделлом гипотезе, $C$$C$  может иметь лишь конечное число рациональных точек.

ДоказательствоПравить

В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род $g>1$$g>1$ , поле определения $K$$K$  и множество точек плохой редукции $S$$S$ . В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.

В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю гипотезы Тейта (англ.) и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию моделей Нерона (англ.).

Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано Паулем Войта (англ.). Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери.

СледствияПравить

Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:

• Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек.
• Гипотезу Шафаревича о существовании лишь конечного, с точностью до изоморфизма, множества абелевых многообразий заданных размерности и степени поляризации над фиксированным числовым полем, имеющих хорошую редукцию всюду вне заданного конечного множества точек этого поля.
• Теорему об изогении абелевых многообразий, имеющих изоморфные модули Тейта.

Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного $n\ge <!--\; \ge \; -->4$$n\geq 4$  существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения $a^n+b^n=c^n$$a^{n}+b^{n}=c^{n}$ , поскольку для таких n кривая Ферма $x^n+y^n=1$$x^{n}+y^{n}=1$  имеет род, больший 1.

ОбобщенияПравить

В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой $C$$C$  с конечнопорождённой подгруппой $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  абелева многообразия $A$$A$ . Заменяя $C$$C$  на произвольное подмногообразие $A$$A$  и $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  на произвольную подгруппу конечного ранга $A$$A$ , мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла — Ленга, которая была доказана.

Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри — Ленга, утверждающая, что если $X$$X$  — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем $k$$k$ , то множество $k$$k$ -рациональных точек $X(k)$$X(k)$  нигде не плотно в топологии Зарисского в $X$$X$ . Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войта.

Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. Коулман (англ.) в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.

ЛитератураПравить

• Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
• Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
• А. Ю. Вайнтроб, А. Б. Сосинский. «Доказательство гипотезы Морделла». — Квант, 1984. — № 3.
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

СсылкиПравить

• Bombieri, Enrico. The Mordell conjecture revisited // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.. — 1990. — Т. 17, № 4. — С. 615—640.
• Coleman, Robert F. Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields (англ.) // L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. IIe Serie : journal. — 1990. — Vol. 36, no. 3. — P. 393—427. — ISSN 0013-8584. Архивировано 2 октября 2011 года.. — «Шаблон:Inconsistent citations». Архивная копия от 2 октября 2011 на Wayback Machine
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. Arithmetic geometry. — New York: Springer, 1986. — ISBN 0-387-96311-1. > Contains an English translation of Faltings (1983)
• Faltings, Gerd. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern (нем.) // Inventiones Mathematicae : magazin. — 1983. — Bd. 73, Nr. 3. — S. 349—366. — doi:10.1007/BF01388432.
• Grauert, Hans. Mordells Vermutung uber rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkorper (нем.) // Publications Mathematiques de l'IHES : magazin. — 1965. — Nr. 25. — S. 131—149. — ISSN 1618-1913.. — «Шаблон:Inconsistent citations».
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometry. — Springer-Verlag, 2000. — Т. 201. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98981-1. > Gives Vojta’s proof of Falting’s Theorem.
• S. Lang. Survey of Diophantine geometry. — Springer-Verlag, 1997. — С. 101—122. — ISBN 3-540-61223-8.
• Manin, Ju. I. Rational points on algebraic curves over function fields (англ.) // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya : journal. — 1963. — Vol. 27. — P. 1395—1440. — ISSN 0373-2436.. — «Шаблон:Inconsistent citations».
• Mordell, Louis J.  (англ.) (рус.. On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees (англ.) // Proc. Cambridge Philos. Soc.  (англ.) (рус. : journal. — 1922. — Vol. 21. — P. 179—192.. — «».
• Parsin, A. N. Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne // Actes du Congres International des Mathematiciens (Nice, 1970), Tome 1. — Gauthier-Villars, 1971. — С. 467—471.
• Parshin, A. N. (2001), M/m064910, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4