Гиперболическая неподвижная точка

Эта статья — о понятии в теории динамических систем. О понятии дифференциальной геометрии см. Гиперболическая точка.

Гиперболическая неподвижная точка (гиперболическая точка) — фундаментальное понятие, использующееся в теории динамических систем по отношению к отображениям (диффеоморфизмам) и векторным полям. В случае отображения гиперболической точкой называется неподвижная точка, в которой все мультипликаторы ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i$$\mu _{i}$ (собственные числа линеаризации отображения в данной точке) по модулю отличны от единицы. В случае векторных полей гиперболической точкой называется особая точка, в которой все собственные числа линеаризации поля ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i$$\lambda _{i}$ имеют ненулевые вещественные части.

Простейший пример гиперболической особой точки векторного поля — седло.

Устойчивое и неустойчивое многообразияПравить

В гиперболической точке векторного поля (или диффеоморфизма) касательное пространство раскладывается в прямую сумму двух инвариантных подпространств $T^u$$T^{u}$  и $T^s$$T^{s}$ , инвариантных относительно оператора линейной части поля: ${\mathbb{R}}^n=T^s\oplus <!--\; \oplus \; -->T^u$$\mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}$ . Подпространства $T^u$$T^{u}$  и $T^s$$T^{s}$  определяются соответственно условиями $\mathrm{Re}<!--\; \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i>0$$\operatorname {Re} \lambda _{i}>0$ , $\operatorname {Re} \lambda _{i}<0$  в случае векторных полей и условиями $|{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i|>1$$|\mu _{i}|>1$ , $|\mu _{i}|<1$  в случае диффеоморфизмов. Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованного векторного поля (диффеоморфизма) в данной точке, они называются его неустойчивым и устойчивым, соответственно.

Неустойчивым и устойчивым многообразиями исходного нелинейного векторного поля (диффеоморфизма) называются его инвариантные многообразия $W^u$$W^{u}$  и $W^s$$W^{s}$ , касающиеся соответственно подпространств $T^u$$T^{u}$  и $T^s$$T^{s}$  в рассматриваемой точке и имеющие те же размерности, что $T^u$$T^{u}$  и $T^s$$T^{s}$ . Многообразия $W^u$$W^{u}$  и $W^s$$W^{s}$  определяются единственным образом. Отметим, что многообразия $W^u$$W^{u}$  и $W^s$$W^{s}$  существуют не только в случае гиперболических особых точек, однако в случае гиперболической точки сумма их размерностей равна размерности всего пространства, и других инвариантных многообразий, проходящих через данную особую точку, не существует.

Теоремы о гиперболических точкахПравить

Теорема Гробмана — Хартмана. В окрестности гиперболической точки нелинейного диффеоморфизма (векторного поля) динамика отличается от таковой для соответствующего линейного отображения (векторного поля) непрерывной заменой координат.

Теорема Адамара — Перрона. В окрестности гиперболической точки гладкого (или аналитического) векторного поля или диффеоморфизма существуют неустойчивое и устойчивое многообразия $W^u$$W^{u}$  и $W^s$$W^{s}$  такого же класса гладкости (соответственно, аналитические), проходящие через данную точку.

Теорема Ченя. Если в окрестности гиперболической точки два $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^\infty$ -гладких векторных поля (диффеоморфизма) формально эквивалентны (т.е. переводятся друг в друга посредством формальной замены переменных, заданной формальными степенными рядами), то они $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^\infty$ -гладко эквивалентны.

См. такжеПравить

• Диффеоморфизм Аносова
• Гиперболическое множество
• Центральное многообразие

ЛитератураПравить

• Я. Г. Синай. Современные проблемы эргодической теории, — М.: Физматлит, 1995 (c. 137).
• В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
• Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.
• Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.